1-复数

卡片 1：复数乘法的矩阵化

问题：为什么“乘以复数 $z=x+iy$”能写成二维实矩阵？这个矩阵如何反映复数乘法？

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$$M(z)=\left[\begin{array}{cc}x& -y\\ y& x\end{array}\right],\mathbf{v}(w)=\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right].$$

由 $zw=(xa-yb)+i(xb+ya)$，得
$M(z_1{z}_2)=M(z_1)M(z_2).$
因此：复数相乘 = 平面上的实线性变换复合。

关联笔记：向量与矩阵表示

卡片 2：非零复数为何一定可除？

问题：矩阵 $M(z)$ 的行列式与 $|z|$ 有什么关系？为什么它说明只有 $z=0$ 不能作除数？

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$$\det \left[\begin{array}{cc}x& -y\\ y& x\end{array}\right]=x^2+y^2=|z{|}^2.$$

• $M(z)$ 可逆 $⟺|z|\ne 0⟺z\ne 0$。
• 几何上：非零复数相乘只是缩放与旋转，不会把平面压扁。

关联笔记：向量与矩阵表示

卡片 3：共轭如何分离实部与虚部？

问题：把 $z$ 与 $\bar{z}$ 相加、相减后分别得到什么？怎样由此写出实部和虚部？

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相加、相减得 $z+\bar{z}=2x$、$z-\bar{z}=2iy$，故

$$\mathrm{Re}z=\frac{z+\bar{z}}{2},\mathrm{Im}z=\frac{z-\bar{z}}{2i}.$$

$z-\bar{z}$ 是纯虚数 $2iy$；除以 $i$ 才恢复实数 $y$。

关联笔记：复共轭

卡片 4：模为何与乘除法相容？

问题：如何用 $z\bar{z}=|z{|}^2$ 证明模的乘法公式？商的模公式在什么条件下才有意义？

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$$|z_1{z}_2{|}^2=(z_1{z}_2)\overline{(z_1{z}_2)}=(z_1{\bar{z}}_1)(z_2{\bar{z}}_2)=|z_1{|}^2|z_2{|}^2.$$

两边非负，开方即得乘法公式。若 $z_2\ne 0$，再由 $z_1=(z_1/z_2)z_2$ 得
$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}.$

关联笔记：模

卡片 5：反三角不等式表达什么距离关系？

问题：反三角不等式的公式是什么？如何从三角不等式推出它？它的几何意义是什么？

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令 $a=z_1-z_2,b=z_2$，则
$|z_1|\le |z_1-z_2|+|z_2|,$
即 $|z_1|-|z_2|\le |z_1-z_2|$。交换 $z_1,z_2$ 再得另一侧，合并为所求式。它表达“到原点的距离变化不超过两点间距离”。

关联笔记：模

卡片 6：极形式怎样解释复数乘法？

问题：非零复数的极形式是什么？相乘时模和幅角如何变化？零复数为什么是例外？

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对 $z\ne 0$，$r=|z|>0$，$\theta \in \mathrm{Arg}z$，且
$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )=r{e}^{i\theta },x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta .$
因而 $z_1{z}_2=r_1{r}_2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$：模相乘、幅角相加，即缩放叠加旋转。

易错边界：$z=0$ 没有幅角，不能写成 $r{e}^{i\theta }$ 且令 $\theta \in \mathrm{Arg}0$。

关联笔记：三角形式与指数形式

卡片 7：复数的 $n$ 次根如何分布？

问题：怎样写出 $w^n=z$ 的全部根？为什么它们等模且等角间隔？“正 $n$ 边形”何时成立？

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设 $w=\rho e^{i\phi }$。比较模与幅角：${\rho }^n=r$，$n\phi =\theta +2k\pi$，故

$$w_k=r^{1/n}{e}^{i(\theta +2k\pi )/n},k=0,\dots ,n-1.$$

$k=0,\dots ,n-1$ 给出恰好 $n$ 个互异根；它们等模，相邻辐角差为 $2\pi /n$。

几何边界：当 $n\ge 3$ 时，这些根是正 $n$ 边形的顶点；$n=2$ 时只是对径的两个点。

关联笔记：根运算

卡片 8：棣莫弗公式如何推出三倍角？

问题：如何利用 $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^3$ 的实部推导 $\cos 3\theta$ 的三倍角公式？

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棣莫弗公式给出 $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^3=\cos 3\theta +i\sin 3\theta$。另一方面展开实部：

$$\mathrm{Re}(\cos \theta +i\sin \theta {)}^3={\cos }^3\theta -3\cos \theta {\sin }^2\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta .$$

因此 $\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$。

关联笔记：应用：三倍角公式