4-复变初等函数

卡片 1：复指数如何同时描述缩放与旋转？

问题：Euler 公式如何把指数函数与三角函数联系起来？在 $e^{x+iy}$ 中，实部和虚部分别控制什么？

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$e^{iy}=\cos y+i\sin y,e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y).$
因而 $|e^z|=e^x$，虚部 $y$ 决定幅角 $y+2k\pi$。实部控制缩放，虚部控制旋转。

关联笔记：欧拉公式、指数函数

卡片 2：复指数的周期性为何造成多值反函数？

问题：为什么 $e^{z+2\pi ik}=e^z$？它如何说明 $e^w=\zeta \ne 0$ 会有无穷多个解？

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$e^{z+2\pi ik}=e^z{e}^{2\pi ik}=e^z.$
对每个 $\zeta \ne 0$，若 $w$ 是一个解，则 $w+2\pi ik$ 也是解。反求指数函数时必出现这族值，故复对数天然多值。

关联笔记：指数函数、对数函数

卡片 3：复对数的全体值与主值有何区别？

问题：怎样写出 $z\ne 0$ 的全部对数值？主值对数通过怎样选择把多值对象变成单值？

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若 $z=r{e}^{i\theta }$，则
$\mathrm{Ln}z=\ln r+i(\arg z+2k\pi ),k\in \mathbb{Z}.$
这是全体值。固定主幅角后只取一个值：$\ln z=\ln |z|+i\arg z$。前者多值，后者依赖所选分支。

关联笔记：对数函数

卡片 4：主值对数为什么必须沿负实轴切开？

问题：主值 $\ln z$ 在什么区域连续解析？从负实轴两侧逼近时，主幅角为何发生跳变？

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在 $\mathbb{C}\setminus (-\infty ,0]$ 上，选择 $\arg z\in (-\pi ,\pi )$，主值 $\ln z$ 连续解析且
$(\ln z{)}^{\prime }=1/z.$
从负实轴上下逼近时主幅角分别趋于 $\pi$、$-\pi$，相差 $2\pi$；不切开便无法连续单值。

关联笔记：对数函数

卡片 5：复幂的取值个数由什么决定？

问题：复幂 $a^b$ 怎样由复对数定义？当 $b=p/q$ 为既约有理数时，为什么恰有 $q$ 个不同值？

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$a^b=e^{b\mathrm{Ln}a}.$
将 $\mathrm{Ln}a$ 加 $2\pi ik$ 后，指数多出 $e^{2\pi ipk/q}$。当 $(p,q)=1$，$k=0,\dots ,q-1$ 给出恰好 $q$ 个不同值；整数幂则只剩一个值。

关联笔记：幂函数

卡片 6：复幂求导为什么离不开分支？

问题：在哪类区域中可以定义单值的 $z^b$ 并使用 $(z^b{)}^{\prime }=b{z}^{b-1}$？为什么不能把该公式当作全局结论？

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要先在某个不穿过分支割、且不含 $0$ 的区域选定 $\mathrm{Ln}z$，令 $z^b=e^{b\ln z}$，再链式求导得
$(z^b{)}^{\prime }=b{z}^{b-1}.$
未选分支时 $z^b$ 是多值对象，不是通常意义上的单值解析函数，不能把此式当作全局单值结论。

关联笔记：幂函数

卡片 7：复正弦、余弦为何仍满足熟悉的求导法则？

问题：怎样用指数函数定义 $\sin z,\cos z$？它们的导数公式如何由指数函数得到？

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$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.$
逐项求导：
$(\sin z{)}^{\prime }=\cos z,(\cos z{)}^{\prime }=-\sin z.$
这些恒等式来自指数函数，故在复域仍成立。

关联笔记：三角函数：定义与基本性质

卡片 8：为什么实正弦的有界性不能搬到复平面？

问题：沿虚轴取 $z=iy$ 时，$\sin (iy)$ 变成什么？它怎样说明 $\sin z$ 在复平面无界？

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$\sin (x+iy)=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y,$
$\cos (x+iy)=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y.$
当 $|y|\to \infty$，$\cosh y,|\sinh y|\to \infty$；例如沿虚轴 $\sin (iy)=i\sinh y$ 无界。因此实轴上的 $[-1,1]$ 界不能搬到复平面。

关联笔记：三角函数与双曲函数

卡片 9：复正切在哪里发散、沿虚轴怎样变化？

问题：复正切的极点由什么条件确定？沿虚轴利用 $\tan (iy)=i\tanh y$ 能得到什么两端极限？

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$\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}$
在 $\cos z=0$ 即 $z=\pi /2+k\pi$ 处有极点。又
$\tan (iy)=i\tanh y⟶\{\begin{array}{ll}i,& y\to +\infty ,\\ -i,& y\to -\infty .\end{array}$
极点说明全平面无界；虚轴极限说明无穷远方向的行为可不同。

关联笔记：正切函数

卡片 10：反正弦的多值性从哪里来？

问题：固定分支后，$\mathrm{Arcsin}z$ 的对数表达式和导数是什么？它为什么同时继承根式与对数的分支问题？

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$\mathrm{Arcsin}z=-i\mathrm{Ln}\left(iz+\sqrt{1-z^2}\right).$
在固定分支内，
$(\mathrm{Arcsin}z{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}.$
反函数继承正弦的周期性，而根式、对数又多值；不固定它们的分支，反正弦及其导数都不是单值解析对象。

关联笔记：反三角函数与反双曲函数