1-Introduction

信号

信号

信号（signal）是一个或多个自变量的函数，用来描述或传递信息。

本课程重点讨论以时间为自变量的一维信号。

• 一维信号：只有一个自变量，记为 $x(t)$。例如声音的声压随时间变化
• 二维信号：有两个自变量，记为 $x(u,v)$。例如图像亮度随平面位置变化

连续时间信号与离散时间信号

信号类型	自变量	记号	例
连续时间(Continuous,CT)	连续变量 $t$	$x(t)$	麦克风声压随时间变化
离散时间(Discrete,DT)	整数 $n\in \mathbb{Z}$	$x[n]$	按周记录的股票指数

• $x(t)$ 在每个时刻都有定义；$x[n]$ 只在整数索引处有定义
• 离散时间信号是数列

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系统

系统

系统（system）按确定的变换规则 $\mathcal{T}$ 将输入信号变为输出信号：

$$x(t)\text{或}x[n]\stackrel{\mathcal{T}\text{(system)}}{\to }y(t)\text{或}y[n]$$

其中 $x$ 为输入（input），$y$ 为输出（output），$\mathcal{T}$ 为系统的变换规则。

系统的分类

分类	判别要点
线性系统（linear）	满足叠加性，输入的线性组合对应输出的同一线性组合，$\mathcal{T}\{a{x}_1+b{x}_2\}=a\mathcal{T}\{x_1\}+b\mathcal{T}\{x_2\}=a{y}_1+b{y}_2$
非线性系统（nonlinear）	不满足叠加性的线性条件
时不变系统（time-invariant）	输入延迟 $t_0$，输出也只延迟同样的 $t_0$，$\mathcal{T}\{x(t-t_0)\}=y(t-t_0)$
时变系统（time-varying）	相同形状的输入在不同时刻进入，输出规则可能不同

线性时不变系统

线性时不变系统 LTI

同时满足线性与时不变的系统称为线性时不变系统（Linear Time-Invariant, LTI）。它可以由冲激响应完全刻画，后续可用卷积分析。

系统的互连

方式	核心关系
串联(series)	前一系统的输出作为后一系统的输入
并联(parallel)	同一输入进入多条支路，再组合各支路输出
反馈(feedback)	输出或其处理结果返回输入端，参与决定新的系统输入

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域 Domains

描述域	常用记号	关注点
时域（time domain）	$x(t)$、$x[n]$	信号随时间或样本索引如何变化
频域（frequency domain）	频谱	信号含哪些频率成分，系统如何改变各成分

三种常用变换

• Fourier transform（傅里叶变换）：连接时域与频域。
• Laplace transform（拉普拉斯变换）：连续时间系统常用，便于同时讨论频率、初始条件与稳定性。
• Z transform（Z 变换）：离散时间系统的对应工具。

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信号的能量与功率

有限区间

连续时间信号 $x(t)$ 在 $t_1\le t\le t_2$ 上：

$$E_{[t_1,t_2]}={\int }_{t_1}^{t_2}|x(t){|}^{2}dt，P_{[t_1,t_2]}=\frac{E_{[t_1,t_2]}}{t_2-t_1}$$

离散时间信号 $x[n]$ 在 $n_1\le n\le n_2$ 上，样本数 $N=n_2-n_1+1$：

$$E_{[n_1,n_2]}=\sum _{n=n_1}^{n_2}|x[n]{|}^2，P_{[n_1,n_2]}=\frac{1}{N}\sum _{n=n_1}^{n_2}|x[n]{|}^2$$

无限区间

连续时间信号的总能量与平均功率为：

$$E={\int }_{-\infty }^{\infty }|x(t){|}^{2}dt，P=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T|x(t){|}^{2}dt$$

离散时间信号的总能量与平均功率为：

$$E=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]{|}^2，P=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{2N+1}\sum _{n=-N}^N|x[n]{|}^2$$

• 能量信号与功率信号
  • $0<E_{\infty }<\infty$ 时称为能量信号，此时 $P_{\infty }=0$
  • $E_{\infty }=\infty$ 且 $0<P_{\infty }<\infty$ 时称为功率信号。

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自变量的变换

本节只涉及时间轴的变换

时移、反转与尺度变换

变换	连续时间	离散时间	图形含义
时移(time shift)	$x(t-t_0)$	$x[n-n_0]$	$t_0,n_0>0$ 时右移，即延时；$<0$ 时左移，超前
时间反转(time reversal)	$x(-t)$	$x[-n]$	“倒放”。反转
时间尺度变换(time scaling)	$x(\alpha t)$	—	“倍速”。$\Vert \alpha \Vert <1$ 时扩展，$\Vert \alpha \Vert >1$ 时压缩

一般形式的自变量变换

$y(t)=x(\alpha t+\beta )$ 可以按照以下步骤进行：

• 先时移 $\beta$，再根据 $\alpha$ 反转、缩放

周期信号

信号类型	周期条件	基波周期
连续时间	$x(t+T)=x(t)$ 对所有 $t$ 成立	最小正值 $T_0$
离散时间	$x[n+N]=x[n]$ 对所有 $n$ 成立	最小正整数 $N_0$

• 常数信号无基波周期

偶信号与奇信号

类型	连续时间	离散时间	几何含义
偶信号（even）	$x(-t)=x(t)$	$x[-n]=x[n]$	关于纵轴对称
奇信号（odd）	$x(-t)=-x(t)$	$x[-n]=-x[n]$	关于原点中心对称

信号的奇偶分解

任何信号 $x(t)$ 可唯一分解为偶部与奇部的和：$x(t)=x_e(t)+x_o(t)$

$$偶信号x_{\mathrm{e}}(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2},奇信号x_{\mathrm{o}}(t)=\frac{x(t)-x(-t)}{2}$$