复数
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复数：由有序实数对 (x,y) 确定，记为 z=x+iy，其中 i2=−1。
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实部、虚部：Re(z)=x，Im(z)=y。
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复数之间没有通常意义下的大小关系。
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复平面：z=x+iy 对应复平面上的点 (x,y)，也对应从原点指向该点的向量。横轴为实轴，纵轴为虚轴。
向量与矩阵表示
z=x+iy 对应二维实向量：
z⟷v(z)=[xy].
乘以 z=x+iy，对应线性变换实矩阵 M
M(z)=[xy−yx],v(zw)=M(z)v(w).
矩阵表示保留加法和乘法：
M(z1+z2)=M(z1)+M(z2),M(z1z2)=M(z1)M(z2).
detM(z)=x2+y2=∣z∣2.
因此 z=0 时，乘以 z 是可逆变换。
复共轭
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共轭复数：z=x+iy⇒zˉ=x−iy
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共轭与模：zzˉ=∣z∣2
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共轭与四则运算相容：
z1±z2=zˉ1±zˉ2,z1z2=zˉ1zˉ2,
(z2z1)=zˉ2zˉ1
Re(z)=2z+zˉ,Im(z)=2iz−zˉ.
模
- 模：∣z∣ 是点 z 到原点的距离；∣z1−z2∣ 是两点 z1,z2 间的距离。
∣z∣=x2+y2,zzˉ=∣z∣2.
- ∣z∣=0⟺z=0。
- ∣Re(z)∣≤∣z∣，∣Im(z)∣≤∣z∣。
- ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣。
- z2z1=∣z2∣∣z1∣，其中 z2=0。
∣z1+z2∣≤∣z1∣+∣z2∣,∣z1∣−∣z2∣≤∣z1−z2∣≤∣z1∣+∣z2∣.
幅角
- 幅角：对 z=0，向量 z 与正实轴的有向角 θ。Argz={θ+2kπ:k∈Z}（注意象限）
- 主幅角：argz∈(−π,π]。
三角形式与指数形式
令 r=∣z∣，θ 为 z 的一个幅角。由欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ
z=x+iy=r(cosθ+isinθ)=reiθ=r∠θ
x=rcosθ，y=rsinθ。
乘法与乘方
- 乘法：模相乘，幅角相加；几何上是缩放和旋转。
- 乘方：模取 n 次方，幅角乘以 n。
根运算
对 z=∣z∣eiθ=0，方程 wn=z（n≥2）的根为
wk=∣z∣1/n∠nθ+2kπ,k=0,1,…,n−1.
- 多值性：共有 n 个不同的根。
- 分布：各根的模相同，幅角依次相差 2π/n，落在正 n 边形的顶点上。
应用：三倍角公式
比较 (cosθ+isinθ)3 两边的实部：
cos3θ=Re((1∠θ)3)=Re((cosθ+isinθ)3)=4cos3θ−3cosθ.