Cauchy-Riemann 方程
⎩⎨⎧∂x∂u=∂y∂v∂x∂v=−∂y∂u
注：若 u,v 在 z0 的某邻域内一阶偏导连续，则 C-R 方程是 f 在 z0 处复可导的充要条件。
C-R方程的推导
导数 Derivatives：近似线性，f(z)=f(z0)+f′(z0)(z−z0)+o(∣z−z0∣)
ω=f(z)=u+iv，u=u(x,y),v=v(x,y) 的导数为：
u(x,y) \\
v(x,y)
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
u(x_{0},y_{0}) \\
v(x_{0},y_{0})
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
\frac{ \partial u }{ \partial x } & \frac{ \partial u }{ \partial y } \\
\frac{ \partial v }{ \partial x } & \frac{ \partial v }{ \partial y }
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x-x_{0} \\
y-y_{0}
\end{bmatrix}+o\!\left(两点距离\right)$$
- 复变形式（复数乘法的矩阵形式）：
\begin{aligned}
\omega(z)&=\omega(z_{0})+A(z-z_{0})+o(|z-z_0|)\
&=\omega(z_{0})+\begin{bmatrix}
\mathrm{Re}(A) & -\mathrm{Im}(A) \
\mathrm{Im}(A) & \mathrm{Re}(A)
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x-x_{0} \
y-y_{0}
\end{bmatrix}+o(|z-z_0|)
\end{aligned}
二者比较可得：
$$\mathrm{Re}A=\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad \mathrm{Im}A=\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$$
---
# 全纯函数
> [!note] 全纯函数/解析函数
>
> 复变函数 $f(z)$ 在区域 $G$ 内处处复可导，称 $f$ 在 $G$ 内**全纯**（或解析）。
- 若 $f$ 在 $z_{0}$ 的某个邻域内全纯，称 $f$ **在 $z_{0}$ 处解析**。
- 若 $f$ 在 $z_{0}$ 的某个去心邻域内全纯，却在 $z_{0}$ 处不全纯或未定义，则称 $z_{0}$ 为 $f$ 的**孤立奇点**。
## 导数
- 当 $f$ 在该点复可导时，**导数公式**为
$$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}$$
> [!note] **可导性判别**（三者等价）
>
> 若 $u,v$ 在 $z_0$ 的某邻域内一阶偏导连续，则以下三者等价：
> - $f$ 在 $z_0$ 处复可导
> - $f$ 在 $z_0$ 处满足 Cauchy-Riemann 方程
> - $f$ 在 $z_0$ 处满足 $\displaystyle \frac{ \partial f }{ \partial \bar{z} }=0$（Wirtinger 导数，$f$ 与 $\bar{z}$ 无关）
- **复初等函数**在选定的**单值解析分支**及其定义域内全纯；其代数与复合运算性质以及求导法则与实初等函数形式一致。如 $e^{z},$$\sin z,$$\sum a_i z^i,$$\frac{P(z)}{Q(z)}$
---
# Wirtinger 导数
## 定义
将实变量 $(x,y)$ 改写为 $(z,\bar{z})$：
x=\frac{z+\bar{z}}{2},\qquad y=\frac{z-\bar{z}}{2i}
> [!note] 由链式法则定义 Wirtinger 导数
>
> $$
> \frac{\partial f}{\partial z}\triangleq\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y}\right),\qquad
> \frac{\partial f}{\partial\bar{z}}\triangleq\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y}\right)
> $$
计算时可把 $z,\bar{z}$ **形式上看作两个独立变量**：$\partial z/\partial\bar{z}=0$，$\partial\bar{z}/\partial\bar{z}=1$。
## C-R 等价条件
若 $f$ 在区域 $G$ 内一阶偏导连续，则
f\text{ 在 }G\text{ 内全纯}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\frac{\partial f}{\partial\bar{z}}=0
与 Cauchy-Riemann 方程等价
可以理解为：**全纯函数只依赖 $z$，不依赖 $\bar{z}$**
## 意义
$(x,y)$ 与 $(z,\bar{z})$ 是同一二维平面的两套坐标。Wirtinger 导数把对 $x,y$ 的微分改写为对 $z,\bar{z}$ 的微分
\mathrm{d}f
=\frac{\partial f}{\partial z},\mathrm{d}z
+\frac{\partial f}{\partial\bar{z}},\mathrm{d}\bar{z}
可理解为：$\text{复函数的局部变化}=\text{解析部分}+\text{反解析部分}$
- $\dfrac{\partial f}{\partial z}$：解析部分，描述沿 $z$ 的变化
- $\dfrac{\partial f}{\partial\bar{z}}$：反解析部分，描述对 $\bar{z}$ 的依赖；它为 $0$ 时，函数全纯。
**实际用途**：即使函数含共轭或模长、不是全纯函数，两个 Wirtinger 偏导仍可用于微分与梯度计算。
~~如通信与信号处理中的复值误差函数常含有变量及其共轭，例如$J(\mathbf w)=\left|y-\mathbf w^{H}\mathbf x\right|^2$。这类 $J$ 通常不全纯，不能直接按全纯函数求导；但可分别对 $\mathbf w$ 与 $\mathbf w^*$ 求偏导，从而进行梯度下降~~
## 例
对非全纯函数 $f(z)=|z|^2=z\bar{z}$：
\frac{\partial f}{\partial z}=\bar{z},\qquad
\frac{\partial f}{\partial\bar{z}}=z
因为 $\partial f/\partial\bar{z}=z$ 不为 $0$，所以 $|z|^2$ 不全纯；但两个 Wirtinger 偏导都存在，仍可用于梯度计算。
---
# 保角映射
> [!note] $f(z)$ 的保角性
>
> 设 $f$ 在 $z_0$ 的某邻域内全纯。
> 若 $z$ 平面中的 $\gamma_1,\gamma_2$ 在 $z_0$ 相交且有非零切向量，$w$ 平面中的 $\Gamma_1=f(\gamma_1),\Gamma_2=f(\gamma_2)$ 在 $w_0=f(z_0)$ 相交，且 $f'(z_0)\neq0$
> 则两组曲线的**有向夹角**相等。
![[Pasted image 20260928113639.png|593]]
左：$\gamma_1,\gamma_2$ 在 $z_0$ 相交；右：$\Gamma_1,\Gamma_2$ 在 $w_0=f(z_0)$ 相交。
> **简要解释**：局部上，$\mathrm{d}w=f'(z_0)\,\mathrm{d}z$，即每个微小切向量都经历相同的伸缩与旋转 $f'(z_{0})$，所以夹角不变。
## 有向夹角
设两条曲线在 $z_0$ 处的非零切向量为
\mathrm{d}z_1=r_1e^{i\varphi_1},\qquad
\mathrm{d}z_2=r_2e
\frac{\mathrm{d}z_2}{\mathrm{d}z_1}
=\frac{r_2}{r_1}e
则从 $\mathrm{d}z_1$ 转到 $\mathrm{d}z_2$ 的有向夹角为
\theta=\arg\frac{\mathrm{d}z_2}{\mathrm{d}z_1}
=\varphi_2-\varphi_1\pmod{2\pi}
---
# 等值线正交性
> [!note] $f(z)$ 的等值线正交性
>
> 若 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在 $z_0$ 的某邻域内全纯且 $f'(z_0)\neq0$，则等值线
> $$
> u(x,y)=c_1,\qquad v(x,y)=c_2
> $$
> 在 $z$ 平面的 $z_0$ 处正交。
> **简要解释 1**：可以根据**保角映射**得到，联立$u(x,y)=c_1,v(x,y)=c_2$ 可解得 $x=x_{0},y=y_{0}$ 的**正交曲线组**
> **简要解释 2**：结合 **C-R 方程**，可以得到两条曲线的**梯度**之积为0，即正交
## 证明
由 Cauchy-Riemann 方程 $v_x=-u_y,\ v_y=u_x$，
\nabla u=(u_x,u_y),\qquad
\nabla v=(v_x,v_y)=(-u_y,u_x).
所以
\nabla u\cdot\nabla v
=u_x(-u_y)+u_yu_x=0.
同时 $f'(z_{0})\neq_{0}$ 保证 $\nabla u,\nabla v$ 都不为零。
两条梯度分别是两条等值线的法向量，积为零，说明两条等值线正交。