5-全纯函数与调和函数 Harmonic Function

调和函数

调和函数

满足拉普拉斯方程的函数：

$\Delta f=0,\text{即}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=0$

详见 笔记。

全纯函数与调和函数的关系

全纯函数与调和函数的关系

任何全纯函数的实部 $u$ 和虚部 $v$ 都必然是调和函数，
且 $u$ 和 $v$ 为共轭调和函数

u,v 必定是调和函数

全纯函数满足 C-R 方程：
$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y\partial x}\\ \frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=-\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x\partial y}\end{array}$

相加即得 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$，$v$ 同理。

补充：构造调和多项式的基
通过取 $z^n$ 的实部和虚部可以构造出调和多项式的基

u 和 v 为共轭调和函数

• 问题：给定一个调和函数 $u$，能否找到确定的 $v$ 使得 $u+iv$ 是全纯的？

局部存在性（总是成立）

在任一矩形区域，给定调和函数 $u$ ，要构造 $v$ ，首先需要满足 C-R方程即$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}$

在任意一点的邻域内，共轭调和函数总存在，可通过积分构造：
$v(x,y)={\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}\left(-\frac{\partial u}{\partial y}dx+\frac{\partial u}{\partial x}dy\right)$

整体存在性（取决于区域拓扑）

单连通区域（如整个复平面、圆盘、矩形区域）：

• 任意 $u$ 可以延拓为 $v$ (取多个相交的邻域，通过重叠部分传递数值从而延拓)
• 通过积分 C-R 方程来唯一构造（差一个常数）
• $f=u+iv$ 是单连通区域上的全纯函数

多连通区域（如有洞的圆环）：

• 积分可能产生「周期」，绕空洞一圈后 $v$ 的值不闭合
• 充要条件：对区域的每个洞，沿围绕该洞的闭合回路 $C$ 有：${\oint }_C\left(-\frac{\partial u}{\partial y}dx+\frac{\partial u}{\partial x}dy\right)=0$，即 $v$ 的线积分与路径无关

若不满足，则不存在单值的全局共轭调和函数，只能得到「多值」的共轭（如同复对数）。

反例：
$\omega =\ln (|x+iy|)$，$U=\mathbb{C}\setminus \{0\}$
$u=\text{Re}\ln z$，$\text{Im}\ln z=\text{Arg}z$ 不能被全局连续定义（多值）。