6-耦合振子(多自由度)

$\{\begin{array}{l}m{\ddot{x}}_1+(k_1+k_2)x_1-k_2{x}_2=0\\ m{\ddot{x}}_2-k_2{x}_1+(k_1+k_2)x_2=0\end{array}$

简正模式

• 简正模式：
  • 两个滑块始终以同一个角频率振动，且它们的振幅比、相位差始终不变的特殊运动

对本题这个完全对称的系统，简正模式恰好是“同相”和“反相”两种。设
$x_1=A_1\cos \omega t,x_2=A_2\cos \omega t$

代入运动方程，约去公共因子 $\cos \omega t$，得到振幅的齐次方程：
$\{\begin{array}{l}\left(\frac{k_1+k_2}{m}-{\omega }^2\right)A_1-\frac{k_2}{m}{A}_2=0\\ -\frac{k_2}{m}{A}_1+\left(\frac{k_1+k_2}{m}-{\omega }^2\right)A_2=0\end{array}$

若要有实际振动，就不能只有 $A_1=A_2=0$，因此系数行列式必须为零。解得两个简正频率：
${\omega }_1=\sqrt{\frac{k_1}{m}},{\omega }_2=\sqrt{\frac{k_1+2k_2}{m}}$

简正模式	振幅关系	直观解释	简正频率
低频模式	$x_1=x_2$，同相运动	中间弹簧始终不形变，因而不起作用	${\omega }_1=\sqrt{\frac{k_1}{m}}$
高频模式	$x_1=-x_2$，反相运动	中间弹簧的形变量最大，额外回复力使系统“更硬”	${\omega }_2=\sqrt{\frac{k_1+2k_2}{m}}$

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简正坐标

定义 $Q_1=x_1+x_2,Q_2=x_1-x_2$。
其中 $Q_1$ 描述同相运动的成分，$Q_2$ 描述反相运动的成分。带入运动方程得到：
$\{\begin{array}{l}{\ddot{Q}}_1+{\omega }_1^2{Q}_1=0\\ {\ddot{Q}}_2+{\omega }_2^2{Q}_2=0\end{array}$

原本相互耦合的两个方程，变成了两个独立的简谐振动方程。因此
$\{\begin{array}{l}{Q}_1=C_1\cos {\omega }_{1}t+D_1\sin {\omega }_{1}t\\ Q_2=C_2\cos {\omega }_{2}t+D_2\sin {\omega }_{2}t\end{array}$

用初始条件可以确定常数：
$\begin{array}{rlrl}{Q}_1(0)& =x_1(0)+x_2(0),& {\dot{Q}}_1(0)& =v_1(0)+v_2(0),\\ Q_2(0)& =x_1(0)-x_2(0),& {\dot{Q}}_2(0)& =v_1(0)-v_2(0).\end{array}$

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多自由度系统的结论

对线性、无阻尼的 $N$ 自由度振动系统，通常可写成

$\mathbf{M}\ddot{\mathbf{x}}+\mathbf{Kx}=0.$

其中 $\mathbf{M}$ 是质量矩阵，$\mathbf{K}$ 是刚度矩阵。求解

$\det \left(\mathbf{K}-{\omega }^2\mathbf{M}\right)=0$

可得到 $N$ 个简正频率及其对应的简正模式。

总结

$N$ 个自由度 $\Rightarrow$ $N$ 个简正模式、$N$ 个简正频率
任意振动都是这些模式的线性叠加。