1-波动方程

基本概念

• 机械波：机械扰动在介质中的传播。传播的是振动状态和能量，介质质点本身只在平衡位置附近振动，并不随波迁移。

类型	质点振动方向与传播方向的关系	例子
横波	垂直	弦上的波
纵波	平行	空气中的声波

波的参数

物理量	符号	关系
波长	$\lambda$	相邻同相点之间的距离
周期、频率	$T,f$	$f=\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2\pi }$
波速	$v$	$v=f\lambda =\frac{\omega }{k}$
波数	$k$	$k=\frac{\omega }{v}=\frac{2\pi }{\lambda }$，单位长度内的相位变化

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平面简谐波

设波沿 $+x$ 方向传播，$u(x,t)$ 为质点相对平衡位置的位移。若 $x=0$ 处波源的振动为
$u(0,t)=A\cos (\omega t+{\phi }_0),$

则 $x$ 处的振动比波源滞后 $x/v$：

沿 $+x$ 方向传播的平面简谐波

$u(x,t)=A\cos \left[\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)+{\phi }_0\right]=A\cos (\omega t-kx+{\phi }_0).$

相位为 $\omega t-kx+{\phi }_0$，同一时刻**$x$ 增大时相位减小**，因此式中的 $-kx$ 对应波向 $+x$ 方向传播。

沿 $-x$ 方向传播时，$-kx$ 改为 $+kx$。

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波动方程

对上式分别求二阶偏导：

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=-{\omega }^{2}u,\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=-k^{2}u.$

所以一维波动方程为

一维波动方程

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}.$

三维均匀介质中：$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=v^2{\nabla }^{2}u$。

• 波动方程是线性方程 $\Rightarrow$ 若 $u_1,u_2$ 都是解，则 $u_1+u_2$ 也是解，这正是波的叠加原理的数学基础。

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波速

一般形式

$v=\sqrt{\frac{\text{介质的弹性性质}}{\text{介质的惯性性质}}}.$

波的类型	波速	参数
细棒中的纵波	$v=\sqrt{\frac{E}{\rho }}$	$E$：杨氏模量，$\rho$：体密度
固体中的横波	$v=\sqrt{\frac{G}{\rho }}$	$G$：切变模量
流体中的纵波	$v=\sqrt{\frac{K}{\rho }}$	$K$：体积模量

纵波波速的推导

对长度为 $dx$、截面积为 $S$ 的介质元，位移为 $u(x,t)$。两端应力之差提供合力；由胡克定律和牛顿第二定律分别写出它们，消去 $Sdx$：

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\frac{E}{\rho }\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}.$

与一维波动方程比较，得到 $v=\sqrt{E/\rho }$。横波、流体纵波的思路相同，只需把相应的弹性模量换为 $G$ 或 $K$。

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弦上的横波

弦上横波波速

$v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}.$

弦上的波速由介质性质（$T,\mu$）决定，而不是由振幅或频率决定。

设弦的张力为 $T$、线密度为 $\mu$，横向位移为 $u(x,t)$。小振幅条件下，弦元所受横向合力为
$d{F}_y=T\left[\frac{\partial u}{\partial x}{|}_{x+dx}-\frac{\partial u}{\partial x}{|}_x\right]=T\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}dx.$
联立 $d{F}_y=\mu dx\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}$ 求得。