2-简谐波的能量

体元的能量

动能

体积为 $dV$ 的体元，质量为 $\rho dV$。其振动速度与动能为
$\frac{\partial u}{\partial t}=-A\omega \sin (\omega t-kx+{\phi }_0).$
$d{E}_k=\frac{1}{2}\rho dV{\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)}^2=\frac{1}{2}\rho dV{A}^2{\omega }^2{\sin }^2(\omega t-kx+{\phi }_0).$

势能

纵向应变为 $\epsilon =\frac{\partial u}{\partial x}$。利用弹性势能密度 $\frac{1}{2}E{\epsilon }^2$，有
$d{E}_p=\frac{1}{2}E{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}^{2}dV=\frac{1}{2}EdV{A}^2{k}^2{\sin }^2(\omega t-kx+{\phi }_0).$

又因 $v=\sqrt{E/\rho }=\omega /k$，故 $E{k}^2=\rho {\omega }^2$，于是

动能与势能

$d{E}_k=d{E}_p=\frac{1}{2}\rho dV{A}^2{\omega }^2{\sin }^2(\omega t-kx+{\phi }_0).$

同一体元的动能和势能始终相等、同步变化。

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能量密度与波的强度

体元总能量 $dE=d{E}_k+d{E}_p$，所以瞬时能量密度为

能量密度

$w=\frac{dE}{dV}=\rho A^2{\omega }^2{\sin }^2(\omega t-kx+{\phi }_0).$

$\bar{w}=\frac{1}{2}\rho A^2{\omega }^2.$

其中 $\bar{w}$ 是一个周期内的平均能量密度。

若波以速度 $v$ 沿传播方向输运能量，瞬时能流密度为 $I=wv$；通常所说的波强度是其周期平均值：

波的强度

$\bar{I}=\bar{w}v=\frac{1}{2}\rho v{A}^2{\omega }^2.$

在介质相同、吸收可忽略时，$\bar{I}\propto A^2{\omega }^2$。球面波的总功率不变时，$\bar{I}\propto 1/r^2$，故振幅 $A\propto 1/r$。