3-波的叠加

波的叠加原理

• 介质为线性介质（弹性模量为常数）
• 各波独立传播，互不影响。相遇后，各列波仍按原来的规律传播。

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驻波

形成条件：两列相干波频率、振幅、振动方向相同，传播方向相反。

取两波为 $u_1=A\cos (\omega t-kx)$、$u_2=A\cos (\omega t+kx)$，叠加得(积化和差)：

驻波方程

$$u=2A\cos (kx)\cos (\omega t)$$

各点振幅为 $2A|\cos (kx)|$，随位置变化。波形在原地起伏，波节、波腹的位置不移动。

位置	振动情况	条件	坐标
波腹	振幅最大，为 $2A$	$\cos (kx)=\pm 1$	$x=n\frac{\lambda }{2}$
波节	始终不动，振幅为 $0$	$\cos (kx)=0$	$x=(2n+1)\frac{\lambda }{4}$

• 波节—波节、波腹—波腹，相距 $\lambda /2$；波节—波腹，相距 $\lambda /4$。
• 同一段同相，相邻段反相。两波节之间的质点一起向上、一起向下；隔着一个波节的两段运动方向相反。

两端固定弦的驻波条件

两端固定 $\Rightarrow$ 两端都是波节 $\Rightarrow$ 弦长恰好容纳整数个半波长：

$$L=n\frac{{\lambda }_n}{2},{\lambda }_n=\frac{2L}{n}$$

简正频率

$$f_n=\frac{nv}{2L}=n{f}_1,n=1,2,3,\dots$$

基频 $f_1=v/(2L)$：弦上只有一个波腹；第 $n$ 阶有 $n$ 个波腹，频率为基频的 $n$ 倍。

弦上波速 $v=\sqrt{T/\mu }$，$T$ 为张力，$\mu$ 为线密度；$n\ge 2$ 对应高次谐波。

驻波中的能量

对弦上的驻波：

• 动能看速度：波腹振得快，动能密度最大；波节不动，动能为零。
• 势能看形变：波节处弦最陡，势能密度最大；波腹处斜率为零。
• 动能、势能交替变化；能量可在局部来回流动，任一截面的周期平均能流为零。

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波的反射与半波损失

半波损失：反射波的位移反向，相位突变 $\pi$，相当于错开半个周期。

对弦上的位移波：

情形	反射结果
固定端	反相：波峰变波谷
自由端	同相：波峰仍是波峰
波疏 $\to$ 波密（波阻抗小 $\to$ 大）	反相，有半波损失
波密 $\to$ 波疏（波阻抗大 $\to$ 小）	同相，无半波损失

固定端不能振动，自由端可以振动；介质界面处的透射位移波不反相。

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波的干涉

干涉：相干波叠加后，振幅加强、减弱的位置固定。

相干条件：频率相同、振动方向相同、初相差恒定。

相位差决定强弱。两波源 $S_1,S_2$ 的波到达 $P$ 点时：

$$\Delta \phi =({\phi }_2-{\phi }_1)-\frac{2\pi }{\lambda }(r_2-r_1)$$

${\phi }_1,{\phi }_2$ 为波源初相，$r_1,r_2$ 为传播距离：走得越远，相位越滞后。

干涉结果	到达时的相位差	合振幅
加强：同涨同落	$\Delta \phi =2m\pi$	$A_1+A_2$
减弱：一个向上、一个向下	$\Delta \phi =(2m+1)\pi$	$|A_1-A_2|$

$m\in \mathbb{Z}$。两波源同相时：波程差为整数个波长则加强，半整数个波长则减弱。

完全相消还要求 $A_1=A_2$，此时减弱处振幅为零。