6-非线性波简介

简谐波的相速

沿 $+x$ 方向传播的简谐波为
$u(x,t)=A\cos (\omega t-kx+{\phi }_0)$
追踪等相位点，对时间求导：
$\omega t-kx+{\phi }_0=\text{常数}\Rightarrow \omega -k\frac{dx}{dt}=0$

相速

$v_{\mathrm{p}}=\frac{\omega }{k}=f\lambda$

等相位点的传播速度，如简谐行波中某个波峰前进的速度。

相速描述波形传播速度，$\partial u/\partial t$ 描述介质质点振动速度，两者不同。

例如绳上横波向右传播，绳上质点上下振动；一个波峰每经过一周期 $T$ 前进一个波长 $\lambda$，故 $v_{\mathrm{p}}=\lambda /T$。

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波包的群速

波包：由一组不同波数、频率的波叠加形成的局域波动。频率集中在中心频率附近时，称为窄带波包，可近似表示为
$u(x,t)\approx \mathcal{A}(x,t)\cos ({\omega }_{0}t-k_{0}x+{\phi }_0)$
其中余弦部分为载波，缓慢变化的 $\mathcal{A}$ 为包络。

• 载波：波包内部密集的波峰、波谷，描述局部的快速振动。
• 包络：连接振幅大小形成的外轮廓，反映哪一段振动强、哪一段振动弱。
• 群速的意义：描述这段强振动区域的移动；内部波峰可以穿过包络，因此波峰移动与波包移动须分别描述。

相速对应内部波峰，群速对应包络，两者不一定相等。

群速的推导

取两列频率、波数相近的等振幅波：
$u_1=a\cos ({\omega }_{1}t-k_{1}x),u_2=a\cos ({\omega }_{2}t-k_{2}x)$
记 ${\omega }_0,k_0$ 为平均值，$\Delta \omega ={\omega }_2-{\omega }_1$、$\Delta k=k_2-k_1$。由和差化积：
$u_1+u_2=2a\cos \left(\frac{\Delta \omega t-\Delta kx}{2}\right)\cos ({\omega }_{0}t-k_{0}x)$
第一项余弦变化慢，决定振幅的强弱分布；第二项余弦变化快，决定内部振动。固定前者的相位，有
$\Delta \omega t-\Delta kx=\text{常数}\Rightarrow \frac{dx}{dt}=\frac{\Delta \omega }{\Delta k}$
即振幅轮廓以 $\Delta \omega /\Delta k$ 移动。两波波数足够接近时，该比值趋于导数：

群速

$v_{\mathrm{g}}={\frac{d\omega }{dk}|}_{k_0}$

窄带波包包络的传播速度，在中心波数 $k_0$ 处沿色散关系求导。

两列波产生周期性调制，用于说明群速；局域波包需要更多成分叠加。群速对窄带、衰减不强的波包有直接意义，不能普遍等同于信息前沿速度。