1.2-矩阵的初等变换

初等行变换

矩阵有三种初等行变换：

1. 交换两行：$r_i\leftrightarrow r_j$；
2. 某一行乘非零常数：$r_i\to k{r}_i$，其中 $k\ne 0$；
3. 某一行加上另一行的若干倍：$r_j\to r_j+k{r}_i$。

任意矩阵都行等价于唯一的行最简阶梯形矩阵。

Gauss–Jordan 消去法

对于矩阵方程$Ax=b$，构造增广矩阵 $[A\mid b]$，再通过初等行变换将其化为行最简阶梯形。若 $A$ 为可逆方阵，则

$$[A\mid b]⟶[I\mid x],$$

右侧所得向量 $x$ 即方程的解。

若方阵 $A$ 可逆，可将 $AX=I$ 写成增广矩阵并进行行变换：

$$[A\mid I]⟶[I\mid A^{-1}].$$

复矩阵方程的实数表示

$$A=A_{\mathrm{r}}+j{A}_{\mathrm{i}},x=x_{\mathrm{r}}+j{x}_{\mathrm{i}},b=b_{\mathrm{r}}+j{b}_{\mathrm{i}}.$$ $$(A_{\mathrm{r}}+j{A}_{\mathrm{i}})(x_{\mathrm{r}}+j{x}_{\mathrm{i}})=b_{\mathrm{r}}+j{b}_{\mathrm{i}}$$ $$\{\begin{array}{l}{A}_{\mathrm{r}}{x}_{\mathrm{r}}-A_{\mathrm{i}}{x}_{\mathrm{i}}=b_{\mathrm{r}},\\ A_{\mathrm{i}}{x}_{\mathrm{r}}+A_{\mathrm{r}}{x}_{\mathrm{i}}=b_{\mathrm{i}}.\end{array}$$

写成实矩阵方程为

$$\left[\begin{array}{cc}{A}_{\mathrm{r}}& -A_{\mathrm{i}}\\ A_{\mathrm{i}}& A_{\mathrm{r}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{r}}\\ x_{\mathrm{i}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{b}_{\mathrm{r}}\\ b_{\mathrm{i}}\end{array}\right].$$

若 $A\in {\mathbb{C}}^{m\times n}$，该式把含 $n$ 个复未知量、$m$ 个复方程的问题，转化为含 $2n$ 个实未知量、$2m$ 个实方程的问题。

初等列变换

1. 交换两列：$c_i\leftrightarrow c_j$；
2. 某一列乘非零常数：$c_i\to k{c}_i$，其中 $k\ne 0$；

列交换会改变解向量元素的顺序，列的非零缩放会使对应解元素按相反比例变化。