伴随算子

基本概念

• 算子：把一个向量或函数映射为另一个向量或函数的映射，通常记作 $A$

• 内积：用于定义长度、正交关系以及向量或函数之间的几何关系，记作 $⟨x,y⟩$

• 抽象空间中的伴随算子记作 $A^{\ast }$；在标准有限维内积下，它的矩阵表示分别是实数情形的 $A^{\mathrm{T}}$ 和复数情形的 $A^{\mathrm{H}}$。

定义

设 $A$ 是内积空间上的算子。若存在算子 $A^{\ast }$，使得对所有适用的 $x$ 和 $y$ 都有

$$⟨Ax,y⟩=⟨x,A^{\ast }y⟩,$$

则称 $A^{\ast }$ 为 $A$ 的伴随算子

伴随算子可以理解为：在内积等式中把 $A$ 从左侧移到右侧时，必须将它替换为 $A^{\ast }$。

有限维矩阵情形

实数矩阵

$$\begin{array}{r}⟨Ax,y⟩=(Ax{)}^{\mathrm{T}}y=x^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}y=⟨x,A^{\mathrm{T}}y⟩.\end{array}$$

$A^{\ast }$ 的矩阵表示为 $A^{\mathrm{T}}$。

复数矩阵

$$⟨Ax,y⟩=(Ax{)}^{\mathrm{H}}y=x^{\mathrm{H}}{A}^{\mathrm{H}}y=⟨x,A^{\mathrm{H}}y⟩.$$

$A^{\ast }$ 的矩阵表示为 $A^{\mathrm{H}}$，即共轭转置。

自伴随矩阵

若 $A=A^{\ast }$，则称 $A$ 为自伴随算子。在有限维标准内积下：

• 实数矩阵的自伴随条件是 $A=A^{\mathrm{T}}$，即对称矩阵；
• 复数矩阵的自伴随条件是 $A=A^{\mathrm{H}}$，即 Hermitian 矩阵；
• 自伴随矩阵的特征值为实数；
• 属于不同特征值的特征向量彼此正交；
• 重复特征值对应的特征子空间中，可以选取正交归一基，但任意选取的特征向量不必自动正交。

意义

• “过桥”规则（算子的转移）：内积中左右移动算子$A$只需要转换为对应的伴随算子$A^{\ast }$即可

• 量子力学中，物理体系的状态用波函数（向量）表示，而所有可以被测量到的物理量（如位置、动量、能量），在数学上都用“算子”来表示

例：求导算子（无限维函数空间）

函数内积：
$⟨f,g⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)g(x)dx$

定义算子 $D$ 为求导算子，即 $Df=\frac{df}{dx}$。

$⟨Df,g⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}^{\prime }(x)g(x)dx=[f(x)g(x){]}_{-\infty }^{\infty }-{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)g^{\prime }(x)dx$

假设函数在无穷远处都趋于 $0$（物理学中的常见假设）

$⟨Df,g⟩=-{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)g^{\prime }(x)dx=⟨f,-Dg⟩$

对比定义 $⟨Df,g⟩=⟨f,D^{\ast }g⟩$，我们得出结论：求导算子 $D$ 的伴随算子是它自己的负数，说明求导不是自伴随的算子

补充：
为了解决这个问题，量子力学里的“动量算子” $P$ 在求导前面乘上了一个虚数单位 $i$ 和普朗克常数，定义为 $P=-i\hslash \frac{d}{dx}$。因为 $i$ 的共轭是 $-i$，恰好和刚才分部积分产生的负号抵消，从而使得 $P=P^{\ast }$，完美变成了自伴随算子！