满秩分解

定义

设$A\in {\mathbb{C}}^{m\times n},\mathrm{rank}(A)=r.$。如果能够写成$A=BC$，且$B\in {\mathbb{C}}^{m\times r},C\in {\mathbb{C}}^{r\times n}$，$\mathrm{rank}(B)=r,\mathrm{rank}(C)=r$，那么称 $A=BC$ 为矩阵 $A$ 的满秩分解。其中$B$满列秩，$C$满行秩。

原理

设$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \cdots & a_n\end{array}\right]$，选出 $r$ 个线性无关的列$a_{i_1},a_{i_2},\cdots ,a_{i_r}$，组成矩阵$B$。
由于列线性无关，所以$\mathrm{rank}(B)=r$，满列秩。

由于 $B$ 的列构成了 $A$ 的列空间的一组基，所以 $A$ 中任意一列 $a_j$ 都可以表示为$a_j=c_{1j}{b}_1+c_{2j}{b}_2+\cdots +c_{rj}{b}_r$
把系数写成向量$c_j=\left[\begin{array}{c}{c}_{1j}\\ c_{2j}\\ ⋮\\ c_{rj}\end{array}\right]$，则 $a_j=B{c}_j$。
组成矩阵$C=\left[\begin{array}{cccc}{c}_1& c_2& \cdots & c_n\end{array}\right]$，就得到 $A=BC$。
由秩的不等式，得到$r=\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(BC)\le \mathrm{rank}(C)\le r$，从而 $\mathrm{rank}(C)=r$。因此 $C$ 满行秩。

所以任意秩为 $r$ 的矩阵都可以写成
$A=\underset{m\times r}{B}\underset{r\times n}{C}$
其中
$\mathrm{rank}(B)=\mathrm{rank}(C)=r.$

常用分解方法

行最简形（RREF）法：

1. 将 $\mathbf{A}$ 化为行最简形（RREF）$\mathbf{R}$。
2. 取 $\mathbf{R}$ 中所有非零行构成 $\mathbf{G}$。
3. 取 $\mathbf{A}$ 中与 RREF 主元列对应的列构成 $\mathbf{F}$。

补充

满秩分解 $A=BC$ 可以理解成：
$B=\text{列空间的一组基}$
$C=\text{A 的每个列向量在这组基下的坐标}.$
因此，满秩分解的本质就是把矩阵拆成 $\text{基}\times \text{坐标}.$

例如，如果 $A\in {\mathbb{C}}^{100\times 200},\mathrm{rank}(A)=3$，那么虽然 $A$ 很大，但它真正的独立信息只有 $3$ 维，因此可以写成
$A=\underset{100\times 3}{B}\underset{3\times 200}{C}.$