A \in F^{m \times n}, B \in F^{n \times p}, C = AB \in F^{m \times p} .

元素视角：行乘列（内积视角）

c_{ij} = a_{i, :} \cdot b_{:, j} = k = 1 \sum n a_{ik} b_{k j}

即 $C$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素等于 $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列的内积。

列视角----C的列是A的列的线性组合

B = [b_{1} b_{2} \dots b_{p}],

C = [A b_{1} A b_{2} \dots A b_{p}] .

c_{:, j} = A b_{j} .

进一步将 $A$ 按列分块为 $A = [a_{1} \dots a_{n}]$ ，则：

A b_{j} = b_{1 j} a_{1} + b_{2 j} a_{2} + \dots + b_{nj} a_{n} .

矩阵乘积的每一列都是左因子矩阵各列的线性组合

组合系数来自右因子矩阵的对应列。

值域包含关系： $R (AB) \subseteq R (A)$
秩不等式： $$
\operatorname{rank}(\mathbf{A} \mathbf{B}) \leq \operatorname{rank}(\mathbf{A})

将 $A$ 按行分块，记其第 $i$ 行为 $a_{i, :}$ ，则：

c_{i, :} = a_{i, :} B .

进一步将 $B$ 按行分块为 $B = b_{1, :} ⋮ b_{n, :}$ ，则：

a_{i, :} B = a_{i 1} b_{1, :} + a_{i 2} b_{2, :} + \dots + a_{in} b_{n, :} .

矩阵乘积的每一行都是右因子矩阵各行的线性组合

组合系数来自左因子矩阵的对应行。

将 $A$ 按列分块， $B$ 按行分块：

A = [a_{1} a_{2} \dots a_{n}], B = b_{1, :} b_{2, :} ⋮ b_{n, :} .

则：

AB = a_{1} b_{1, :} + a_{2} b_{2, :} + \dots + a_{n} b_{n, :}

每一项 $a_{k} b_{k, :}$ 是一个列向量与行向量的乘积，通常为秩 1 矩阵。

因此：

矩阵乘积是若干个秩 1 外积矩阵的叠加