Moore-Penrose 逆矩阵的存在性构造

为什么任意矩阵 $\mathbf{A}\in {\mathbb{C}}^{m\times n}$ 的 Moore-Penrose 逆可以由下式确定？

$${\mathbf{A}}^{†}=({\mathbf{A}}^H\mathbf{A}{)}^{†}{\mathbf{A}}^H\text{或}{\mathbf{A}}^{†}={\mathbf{A}}^H(\mathbf{A}{\mathbf{A}}^H{)}^{†}$$

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背景：Penrose 四个条件
若 ${\mathbf{A}}^{†}\in {\mathbb{C}}^{n\times m}$ 满足：

1. $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{†}\mathbf{A}=\mathbf{A}$
2. ${\mathbf{A}}^{†}\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{†}={\mathbf{A}}^{†}$
3. $(\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{†}{)}^H=\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{†}$
4. $({\mathbf{A}}^{†}\mathbf{A}{)}^H={\mathbf{A}}^{†}\mathbf{A}$

则称 ${\mathbf{A}}^{†}$ 为 $\mathbf{A}$ 的 Moore-Penrose 逆。

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满秩分解视角

任意矩阵 $\mathbf{A}\in {\mathbb{C}}^{m\times n}$ 可分解为满列秩与满行秩矩阵之积$\mathbf{A}=\mathbf{FG}$， $\mathbf{F}$ 列满秩， $\mathbf{G}$ 行满秩

$${\mathbf{G}}^{†}={\mathbf{G}}^H(\mathbf{G}{\mathbf{G}}^H{)}^{-1}$$ $${\mathbf{F}}^{†}=({\mathbf{F}}^H\mathbf{F}{)}^{-1}{\mathbf{F}}^H$$

可得

$${\mathbf{A}}^{†}={\mathbf{G}}^{†}{\mathbf{F}}^{†}={\mathbf{G}}^H(\mathbf{G}{\mathbf{G}}^H{)}^{-1}({\mathbf{F}}^H\mathbf{F}{)}^{-1}{\mathbf{F}}^H$$

这个显式构造满足全部四个 Penrose 条件。

两个等价公式的推导

满秩分解视角

公式一：$({\mathbf{A}}^H\mathbf{A}{)}^{†}{\mathbf{A}}^H$

将 $\mathbf{A}=\mathbf{FG}$ 代入：

$${\mathbf{A}}^H\mathbf{A}={\mathbf{G}}^H{\mathbf{F}}^H\mathbf{FG}$$

由于 ${\mathbf{F}}^H\mathbf{F}$ 可逆，有：

$$({\mathbf{A}}^H\mathbf{A}{)}^{†}={\mathbf{G}}^{†}({\mathbf{F}}^H\mathbf{F}{)}^{-1}({\mathbf{G}}^H{)}^{†}$$

右乘 ${\mathbf{A}}^H={\mathbf{G}}^H{\mathbf{F}}^H$ 后化简即得 ${\mathbf{A}}^{†}$。

当 $\mathbf{A}$ 列满秩时，${\mathbf{A}}^H\mathbf{A}$ 可逆，公式退化为：
${\mathbf{A}}^{†}=({\mathbf{A}}^H\mathbf{A}{)}^{-1}{\mathbf{A}}^H$

公式二：${\mathbf{A}}^H(\mathbf{A}{\mathbf{A}}^H{)}^{†}$

对偶地，由 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^H$ 出发：

$$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^H=\mathbf{FG}{\mathbf{G}}^H{\mathbf{F}}^H$$

由于 $\mathbf{G}{\mathbf{G}}^H$ 可逆，类似推导可得：

$${\mathbf{A}}^{†}={\mathbf{A}}^H(\mathbf{A}{\mathbf{A}}^H{)}^{†}$$

当 $\mathbf{A}$ 行满秩时，$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^H$ 可逆，公式退化为：
${\mathbf{A}}^{†}={\mathbf{A}}^H(\mathbf{A}{\mathbf{A}}^H{)}^{-1}$

SVD 视角

设 $\mathbf{A}$ 的奇异值分解为：

$$\mathbf{A}=\mathbf{U}\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{\Sigma }}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right]{\mathbf{V}}^H$$

其中 ${\mathbf{\Sigma }}_r=\text{diag}({\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_r)$，${\sigma }_i>0$。

则：

$${\mathbf{A}}^{†}=\mathbf{V}\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{\Sigma }}_r^{-1}& 0\\ 0& 0\end{array}\right]{\mathbf{U}}^H$$

分别计算：

$$({\mathbf{A}}^H\mathbf{A}{)}^{†}{\mathbf{A}}^H=\mathbf{V}\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{\Sigma }}_r^{-2}& 0\\ 0& 0\end{array}\right]{\mathbf{V}}^H\cdot \mathbf{V}\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{\Sigma }}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right]{\mathbf{U}}^H=\mathbf{V}\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{\Sigma }}_r^{-1}& 0\\ 0& 0\end{array}\right]{\mathbf{U}}^H={\mathbf{A}}^{†}$$

同理：

$${\mathbf{A}}^H(\mathbf{A}{\mathbf{A}}^H{)}^{†}={\mathbf{A}}^{†}$$

因此两公式恒等。

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总结

补充公式不是额外条件，而是存在性构造：
它证明了 Penrose 四个条件定义的 Moore-Penrose 逆对任意矩阵都存在，并且给出了两条等价的计算路径。

• 公式一适合列数较少的场合（$n$ 较小）
• 公式二适合行数较少的场合（$m$ 较小）
• 两者通过 SVD 统一，本质相同