1.1-矩阵的基本运算

代数向量

• 常数向量：元素为常数
• 函数向量：元素含变量
• 随机向量：元素为随机变量

特殊矩阵

• 幂等矩阵：满足 $A^2=A$，有性质

  • $A^n=A$
  • $I-A$ 亦为幂等矩阵
  • $f(sI+tA)=(I-A)f(s)+Af(s+t)$

• 幂单(对合)矩阵：满足 $A^2=I$，有性质

  • $f(sI+tA)=\frac{1}{2}[(I+A)f(s+t)+(I-A)f(s-t)]$
  • 矩阵 $A$ 是对合矩阵 $⟺$ $\frac{1}{2}(A+I)$ 为幂等矩阵

• 幂零矩阵：满足 $A^2=AA=O$，有性质

  • $f(sI+tA)=If(s)+tA{f}^{\prime }(s)$

矩阵运算

• 转置 $A^T$；复数共轭 $A^{\ast }$ (逐元素取共轭)；复共轭转置 $A^H$（Hermitian *+H）

• $A=A^T$ 对称矩阵；$A^H=A$ 共轭对称矩阵（Hermitian 矩阵）

• 运算符性质（$\square$ 代表 $-1/T/H$）

  • $(A+B{)}^{\square }=A^{\square }+B^{\square }$
  • $(AB{)}^{\square }=B^{\square }{A}^{\square }$
  • $(A^{\square }{)}^{\square }=A$

• 矩阵级数展开

  • $\exp (A)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}{A}^n=I+A+\frac{1}{2!}{A}^2+\dots$
  • $\sin (A)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{A}^{2n+1}}{(2n+1)!}=A-\frac{1}{3!}{A}^3+\frac{1}{5!}{A}^5-\dots$
  • $\ln (I+A)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{A}^n=A-\frac{1}{2}{A}^2+\frac{1}{3}{A}^3-\dots$

• 求导：$\frac{dA}{dt}=\dot{A}=\left[\frac{d{a}_{ij}}{dt}\right]$

  • 乘积：$\frac{d}{dt}(AB)=\frac{dA}{dt}B+A\frac{dB}{dt}$

• 积分：$\int Adt=\left[\int a_{ij}dt\right]$

线性无关性

对向量组 $\{u_1,\dots ,u_n\}$

• $\sum x_i{u}_i=0$ 有非零解 $⟺$ 线性相关；反之无关
• $A_{n\times n}$ 非奇异 $⟺Ax=0$ 只有零解 $⟺$ 列向量线性无关
• $A_{n\times n}$ 奇异 $⟺$ 相关