2-Signals and Systems Part I

连续时间复指数信号与正弦信号

连续时间复指数信号的一般形式为

$$x(t)=C{e}^{at}$$

实指数信号

当 $C,a\in \mathbb{R}$ 时，$x(t)=C{e}^{at}$ 为实指数信号。

$a$ 的取值	波形特征
$a>0$	随时间 $t$ 指数增长
$a<0$	随时间 $t$ 指数衰减

周期复指数信号

纯虚指数 $x(t)=e^{j{\omega }_{0}t}=\cos {\omega }_{0}t+j\sin {\omega }_{0}t$

• 周期信号。其周期满足 $e^{j{\omega }_{0}T}=1$，基波周期为$T_0=\frac{2\pi }{|{\omega }_0|}$
• 谐波关系：一组有公共周期 $T_0$ 的周期信号
  ${\Phi }_k(t)=e^{jk{\omega }_{0}t},k\in \mathbb{Z}$
• 周期复指数信号具有有限平均功率 $P_{\infty }=1$

补充-化简两个复指数的和

提项频率的品均值，利用欧拉公式化简。例如

$$x(t)=e^{jt}\pm e^{5t}=e^{3t}(e^{-2t}\pm e^{2t})=e^{3t}\times 正弦函数$$

正弦信号

$x(t)=A\cos ({\omega }_{0}t+\varphi )$

• 周期信号：基波周期为 $T=\frac{2\pi }{|{\omega }_0|}$，基波频率为 ${\omega }_0$
• 正弦信号可以用周期复指数信号表示 $\frac{A}{2}{e}^{j\varphi }{e}^{j{\omega }_{0}t}+\frac{A}{2}{e}^{-j\varphi }{e}^{-j{\omega }_{0}t}$ 或 $A\mathrm{Re}\left\{e^{j({\omega }_{0}t+\varphi )}\right\}$

一般复指数信号

$C=|C|e^{j\theta },a=r+j{\omega }_0$，则
$C{e}^{at}=|C|e^{rt}\cos ({\omega }_{0}t+\theta )+j|C|e^{rt}\sin ({\omega }_{0}t+\theta )$

• 一般复指数信号的实部和虚部都是正弦振荡，振幅包络线为 $|C|e^{rt}$

$r$ 的取值	振幅包络
$r>0$	指数增长
$r=0$	恒定，得到等幅正弦振荡
$r<0$	指数衰减，称为阻尼正弦振荡

• 指数衰减的正弦信号称为阻尼正弦震荡（例: 减震系统，RLC电路）

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离散时间复指数信号与正弦信号

离散时间复指数序列的一般形式为

$$x[n]=C{\alpha }^n$$

实指数信号

当 $C,\alpha \in \mathbb{R}$ 时：

参数条件	序列特征
$|\alpha |>1$	幅值随 $n$ 指数增长
$|\alpha |<1$	幅值随 $n$ 指数衰减
$\alpha >0$	所有样本同号
$\alpha <0$	样本符号交替变化
$\alpha =1$	常数序列 $C$
$\alpha =-1$	在 $+C$ 与 $-C$ 间交替

正弦信号

$$e^{j{\Omega }_{0}n}=\cos ({\Omega }_{0}n)+j\sin ({\Omega }_{0}n)$$

纯虚数指数序列与离散时间正弦序列相关

$$x[n]=A\cos ({\Omega }_{0}n+\varphi )$$

• 这些序列的总能量无穷大，但平均功率有限；对 $e^{j{\Omega }_{0}n}$，平均功率为 $1$

一般复指数序列

已知 $C=|C|e^{j\theta },\alpha =|\alpha |e^{j{\Omega }_0}$，则$C{\alpha }^n=|C||\alpha {|}^n\cos ({\Omega }_{0}n+\theta )+j|C||\alpha {|}^n\sin ({\Omega }_{0}n+\theta )$

实部和虚部都是正弦振荡，振幅包络是 $|C||\alpha {|}^n$

$|\alpha |$ 的取值	正弦序列的幅度
$|\alpha |=1$	恒定
$|\alpha |<1$	指数衰减
$|\alpha |>1$	指数增长

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离散时间复指数序列的周期性质

频率周期为 $2\pi$

对任意整数 $k$：

$$e^{j({\Omega }_0+2\pi k)n}=e^{j{\Omega }_{0}n}{e}^{k2\pi n}=e^{j{\Omega }_{0}n}$$

离散时间中频率相差 $2\pi$ 整数倍的复指数序列完全相同。
通常只需在 $[-\pi ,\pi )$ 或 $[0,2\pi )$ 内讨论频率。

• 离散时间复指数的低频部分位于 ${\omega }_0$ 在 0, $2\pi$ 和任何其他 $\pi$ 的偶数倍值附近
• 高频部分则位于 ${\omega }_0=\pm \pi$ 及其他任何 $\pi$ 的奇数倍值附近。
• 在 ${\omega }_0=\pi$ 或任何其他 $\pi$ 的奇数倍处有${\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\pi n}=({\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\pi }{)}^n=(-1{)}^n$以至于信号在每一点上都改变符号，产生剧烈振荡

周期条件

对 $x[n]=e^{j{\Omega }_{0}n}$，若存在正整数 $N$ 使 $x[n+N]=x[n]$，就必须有

$$e^{j{\Omega }_{0}N}=1⟺{\Omega }_{0}N=2\pi m,m\in \mathbb{Z}$$

等价地，

$$\frac{{\Omega }_0}{2\pi }=\frac{m}{N}$$

所以离散时间复指数或正弦序列当且仅当 ${\Omega }_0/(2\pi )$ 是有理数时才周期。整理后，分母 $N$ 即为基波周期 $N_0$。

例	结论
${\Omega }_0=8\pi /31$	${\Omega }_0/(2\pi )=4/31$，故 $N_0=31$
${\Omega }_0=1/6$	${\Omega }_0/(2\pi )=1/(12\pi )$ 为无理数，故非周期

与连续时间的区别

连续时间 $e^{j{\omega }_{0}t}$	离散时间 $e^{j{\omega }_{0}n}$
${\omega }_0$ 不同，信号不同。${\omega }_0$ 越大越高频	频率相差 $2\pi$ 的整数倍，信号相同
对任何 ${\omega }_0$ 值都是周期的	仅当 ${\omega }_0=2\pi m/N$ 时才是周期的；其中 $N>0$、$m$ 为整数
基波频率为 ${\omega }_0$	基波频率为 ${\omega }_0/m$
基波周期：$\{\begin{array}{l}{\omega }_0=0\text{ 时无定义}\\ {\omega }_0\ne 0\text{ 时 }2\pi /{\omega }_0\end{array}$	基波周期：$\{\begin{array}{l}{\omega }_0=0\text{ 时无定义}\\ {\omega }_0\ne 0\text{ 时 }m\left(\frac{2\pi }{{\omega }_0}\right)\end{array}$

谐波关系

对于离散时间信号，公共周期 $N$ 仅有 $N$ 个互不相同的周期复指数信号。例如

${\varphi }_0[n]=1,{\varphi }_1[n]=e^{j2\pi n/N},\dots ,{\varphi }_{N-1}[n]=e^{j2\pi (N-1)n/N}$

是全不相同的，而任何其他的 ${\varphi }_k[n]$ 都将与上列中的一个相同