3-全纯函数 Holomorphic Functions

Cauchy-Riemann 方程

C-R 方程

\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \\[6pt] \displaystyle\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y} \end{cases}$$

注：必要条件。补充 $u,v(x,y)$ 可微则为充要条件

推导

导数 Derivatives：近似线性，$f(x)=\frac{df}{x-x_0}dx+o(x-x_0)$

$\omega =f(z)=u+iv$，$u=u(x,y),v=v(x,y)$
实变形式（Jacobian）：

u(x,y) \\ v(x,y) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} u(x_{0},y_{0}) \\ v(x_{0},y_{0}) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \frac{ \partial u }{ \partial x } & \frac{ \partial u }{ \partial y } \\ \frac{ \partial v }{ \partial x } & \frac{ \partial v }{ \partial y } \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x-x_{0} \\ y-y_{0} \end{bmatrix}+error$$ 复变形式（复数乘法的矩阵形式，复数 $A$ 为复导数）： $$\omega(z)=\omega(z_{0})+A(z-z_{0})+error$$ $$=\omega(z_{0})+\begin{bmatrix} \mathrm{Re}(A) & -\mathrm{Im}(A) \\ \mathrm{Im}(A) & \mathrm{Re}(A) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x-x_{0} \\ y-y_{0} \end{bmatrix}+error$$ 二者比较可得： $$\mathrm{Re}A=\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad \mathrm{Im}A=\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$$ --- # 全纯函数 > [!note] 全纯函数/解析函数 > > 复变函数 $f(z)$ 在区域 $G$ 内解析 - $f(z)$ 在 $z_{0}$ 及其领域内处处可导，称 $f(z)$ **在 $z_{0}$ 处解析** - $f(z)$ 在 $z_{0}$ 处不解析，称 $z_{0}$ 为 $f(z)$ 的奇点 ## 导数 - **导数公式** $$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}$$ > [!note] **可导性判别** (三者等价) > - 复变函数在 $(x,y)$ 处可导 > - 满足 Cauchy-Riemann 方程 > - 满足 $\displaystyle \frac{ \partial f }{ \partial \bar{z} }=0$ ($Wirtinger导数$) - **复初等函数**在其定义域内是**全纯**的，其代数与复合运算性质以及求导法则均与实初等函数具有形式一致性。 如 $e^{z},\sin z,\sum a_i z^i,\frac{P(z)}{Q(z)}$ --- # Wirtinger 导数 ## 定义 将实变量 $(x,y)$ 改写为 $(z,\bar{z})$：

x=\frac{z+\bar{z}}{2},\qquad y=\frac{z-\bar{z}}{2i}.

> [!note] 由链式法则定义 Wirtinger 导数 > > $$ \frac{\partial f}{\partial z}\triangleq\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y}\right),\qquad \frac{\partial f}{\partial\bar{z}}\triangleq\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y}\right).

计算时可把 $z,\bar{z}$ 形式上看作两个独立变量：$\partial z/\partial \bar{z}=0$，$\partial \bar{z}/\partial \bar{z}=1$。

C-R 等价条件

若 $f$ 在区域 $G$ 内一阶偏导连续，则

$$f\text{ 在 }G\text{ 内全纯}⟺\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0.$$

与 Cauchy-Riemann 方程等价

可以理解为：全纯函数只依赖 $z$，不依赖 $\bar{z}$

意义

$(x,y)$ 与 $(z,\bar{z})$ 是同一二维平面的两套坐标。Wirtinger 导数把对 $x,y$ 的微分改写为对 $z,\bar{z}$ 的微分

$$\mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial z}\mathrm{d}z+\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\mathrm{d}\bar{z}.$$

可理解为：$\text{一般复函数的局部变化}=\text{解析部分}+\text{反解析部分}$

• $\frac{\partial f}{\partial z}$：解析部分，描述沿 $z$ 的变化。
• $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}$：反解析部分，描述对 $\bar{z}$ 的依赖；它为 $0$ 时，函数全纯。

实际用途：即使函数含共轭或模长、不是全纯函数，两个 Wirtinger 偏导仍可用于微分与梯度计算。

如通信与信号处理中的复值误差函数常含有变量及其共轭，例如$J(\mathbf{w})={\left|y-{\mathbf{w}}^H\mathbf{x}\right|}^2$。这类 $J$ 通常不全纯，不能直接按全纯函数求导；但可分别对 $\mathbf{w}$ 与 ${\mathbf{w}}^{\ast }$ 求偏导，从而进行梯度下降。

例

对非全纯函数 $f(z)=|z{|}^2=z\bar{z}$：

$$\frac{\partial f}{\partial z}=\bar{z},\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=z.$$

因为 $\partial f/\partial \bar{z}=z$ 通常不为 $0$，所以 $|z{|}^2$ 不全纯；但两个 Wirtinger 偏导都存在，仍可用于梯度计算。

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保角映射

结论

保角判定

$z$ 平面中，${\gamma }_1,{\gamma }_2$ 在 $z_0$ 相交；$w$ 平面中，${\Gamma }_1=f({\gamma }_1)$,${\Gamma }_k=f({\gamma }_2)$ 在 $w_0=f(z_0)$ 相交。若 $f^{\prime }(z_0)\ne 0$，则两组曲线的有向夹角相等。

左：${\gamma }_1,{\gamma }_2$ 在 $z_0$ 相交；右：${\Gamma }_1,{\Gamma }_2$ 在 $w_0=f(z_0)$ 相交。

简要解释：局部上，$\mathrm{d}w=f^{\prime }(z_0)\mathrm{d}z$，即每个微小切向量都经历相同的伸缩与旋转 $f^{\prime }(z_0)$，所以夹角不变。

有向夹角

设两条曲线在 $z_0$ 处的非零切向量为

$$\mathrm{d}{z}_1=r_1{e}^{i{\phi }_1},\mathrm{d}{z}_2=r_2{e}^{i{\phi }_2}.$$ $$\frac{\mathrm{d}{z}_2}{\mathrm{d}{z}_1}=\frac{r_2}{r_1}{e}^{i({\phi }_2-{\phi }_1)}.$$

则从 $\mathrm{d}{z}_1$ 转到 $\mathrm{d}{z}_2$ 的有向夹角为

$$\theta =\arg \frac{\mathrm{d}{z}_2}{\mathrm{d}{z}_1}={\phi }_2-{\phi }_1(\mathrm{mod}2\pi )$$

证明

设两条切向量的像为 $\mathrm{d}{w}_1,\mathrm{d}{w}_2$。由复导数定义，

$$\mathrm{d}{w}_k=f^{\prime }(z_0)\mathrm{d}{z}_k(k=1,2).$$

由于 $f^{\prime }(z_0)\ne 0$，可以相除：

$$\frac{\mathrm{d}{w}_2}{\mathrm{d}{w}_1}=\frac{f^{\prime }(z_0)\mathrm{d}{z}_2}{f^{\prime }(z_0)\mathrm{d}{z}_1}=\frac{\mathrm{d}{z}_2}{\mathrm{d}{z}_1}.$$

两边取辐角：

$$\arg \frac{\mathrm{d}{w}_2}{\mathrm{d}{w}_1}=\arg \frac{\mathrm{d}{z}_2}{\mathrm{d}{z}_1}.$$

所以，像曲线与原曲线的有向夹角相同。

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等值线正交性

若 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在 $z_0$ 处解析且 $f^{\prime }(z_0)\ne 0$，则等值线

$$u(x,y)=c_1,v(x,y)=c_2$$

在 $z$ 平面的 $z_0$ 处正交。

证明：由 Cauchy-Riemann 方程 $v_x=-u_y,v_y=u_x$，

$$\nabla u=(u_x,u_y),\nabla v=(v_x,v_y)=(-u_y,u_x).$$

所以

$$\nabla u\cdot \nabla v=u_x(-u_y)+u_y{u}_x=0.$$

又

$$|\nabla u{|}^2=u_x^2+u_y^2=u_x^2+v_x^2=|f^{\prime }(z_0){|}^2>0,$$

故 $\nabla u,\nabla v$ 都不为零。两条梯度分别是两条等值线的法向量，且法向量正交，因此两条等值线正交。