1-简谐振动

运动方程

• 线性恢复力是简谐运动的条件：
  $F=-kx$

微分方程与解

$\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0$
$\{\begin{array}{l}\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}\\ x=A\cos (\omega t+{\phi }_0)\\ v=-A\omega \sin (\omega t+{\phi }_0)\\ a=-A{\omega }^2\cos (\omega t+{\phi }_0)\end{array}$
$v=\pm \omega \sqrt{A^2-x^2}$

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由初始条件求振幅与初相

已知 $x_0$、$v_0$、$\omega$：
$A=\sqrt{x_0^2+{\left(\frac{v_0}{\omega }\right)}^2},{\phi }_0=atan2\left(-\frac{v_0}{\omega },x_0\right)$

其中 $atan2(y,x)$ 可确定相位所在象限；总能量为 $E=\frac{1}{2}k{A}^2$。

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求解方法

方法一：解微分方程

列动力学方程，解微分方程。复杂运动中常利用小量近似化为线性恢复力。

方法二：机械能守恒

能量方法

列机械能守恒方程，两边对时间求导。尤其适用于约束复杂的系统。

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参考圆（旋转矢量法）

简谐运动为振幅矢量 $\vec{A}$ 在 $x$ 轴上的投影。常用于时间与相位相关的问题。