4-阻尼振动

运动方程

阻尼力与微分方程

阻尼力 $f=-\gamma v$，记 ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$，$2\delta =\frac{\gamma }{m}$：
$m\ddot{x}=-kx-\gamma \dot{x}$
$\ddot{x}+2\delta \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$

复数法求解

设解 $\tilde{x}=A{e}^{i(\omega t+\phi )}$，代入得 $-{\omega }^2\tilde{x}+i2\delta \omega \tilde{x}+{\omega }_0^2\tilde{x}=0$，解得
$\omega =\pm \sqrt{{\omega }_0^2-{\delta }^2}+i\delta$
通解：
$\tilde{x}=A{e}^{-\delta t}{e}^{i(\phi \pm \sqrt{{\omega }_0^2-{\delta }^2}t)}$

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三种阻尼情形

情形	条件	是否振荡	回到平衡位置的特征
欠阻尼	$\delta <{\omega }_0$	是	振幅指数衰减
过阻尼	$\delta >{\omega }_0$	否	缓慢回到平衡位置
临界阻尼	$\delta ={\omega }_0$	否	回到平衡位置最快

欠阻尼 $\delta <{\omega }_0$

记 ${\omega }^{\prime }=\sqrt{{\omega }_0^2-{\delta }^2}$：
$x=A{e}^{-\delta t}\cos ({\omega }^{\prime }t+{\Phi }_0)$
振幅按 $e^{-\delta t}$ 衰减，仍做振荡。

过阻尼 $\delta >{\omega }_0$

记 $\omega =\sqrt{{\delta }^2-{\omega }_0^2}$：
$x=A_1{e}^{(\omega -\delta )t}+A_2{e}^{(-\omega -\delta )t}$
时间足够长时主要保留 $x=A_1{e}^{(\omega -\delta )t}$，不振荡，缓慢回到平衡位置。

临界阻尼 $\delta ={\omega }_0$

$x=(A_1+A_{2}t)e^{-\delta t}$
振幅下降最快，最快回到平衡位置。