3-波的叠加与反射

波的叠加

• 要求介质为线性介质（弹性模量为常数）
• 各波独立传播，互不影响。相遇后，各列波仍按原来的规律传播。

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驻波

• 形成条件：两列相干波频率、振幅、振动方向相同，传播方向相反，相位差恒定

取两波为 $u_1=A\cos (\omega t-kx)$、$u_2=A\cos (\omega t+kx)$，叠加得(积化和差)：

驻波方程

$$u=2A\cos (kx)\cos (\omega t)$$

各点振幅为 $2A|\cos (kx)|$，随位置变化。波形在原地起伏，波节、波腹的位置不移动。

位置	振动情况	条件	坐标
波腹	振幅最大，为 $2A$	$\cos (kx)=\pm 1$	$x=k\frac{\lambda }{2}$
波节	始终不动，振幅为 $0$	$\cos (kx)=0$	$x=(2k-1)\frac{\lambda }{4}$

• 相邻波节间、波腹间，相距 $\lambda /2$；相邻波节、波腹间，相距 $\lambda /4$。
• 两波节之间的质点一起向上、一起向下；隔着一个波节的两段运动方向相反。

一端固定弦的驻波波长条件

• 一端固定，一端自由 $\Rightarrow$ 固定端为波节，自由端为波腹 $\Rightarrow$ $L=(2k-1)\frac{\lambda }{4}$

$${\lambda }_k=\frac{4L}{2k-1}$$

两端固定弦的驻波波长条件

• 两端固定 $\Rightarrow$ 两端都是波节 $\Rightarrow$ $L=k\frac{\lambda }{2}$

$${\lambda }_n=\frac{2L}{n}$$

简正频率

$$f_n=n\frac{v}{2L}=n{f}_1,n=1,2,3,\dots$$

$v$为波速。基频 $f_1=v/(2L)$：弦上只有一个波腹；第 $n$ 阶有 $n$ 个波腹，频率为基频的 $n$ 倍。

驻波中的能量

对弦上驻波：

• 动能：波腹振动速度快，动能最大；波节不动，动能为零。
• 势能：波节处弦斜率(形变)最大，势能最大；波腹处斜率为零，
• 动能、势能交替变化；能量可在局部来回流动，任一截面的周期平均能流为零。

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波的干涉

• 干涉条件（相干条件）

  • 频率相同
  • 振动方向相同
  • 初相差恒定

• 两相干波源 $S_1,S_2$（初相 ${\phi }_1,{\phi }_2$），在空间某点 $P$ 处的相位差：

$$\Delta \phi =({\phi }_2-{\phi }_1)-\frac{2\pi }{\lambda }(r_2-r_1)$$

其中 $r_1,r_2$ 分别为 $P$ 到两波源的距离。

干涉加强与减弱

• 加强（振幅最大）：$\Delta \phi =2k\pi$，$A=A_1+A_2$
• 减弱（振幅最小）：$\Delta \phi =(2k+1)\pi$，$A=|A_1-A_2|$
• 当 $A_1=A_2$ 时，减弱处振幅为 $0$（完全相消）

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波的反射

波在传播过程中遇到介质界面时，一部分透射，一部分反射。

半波损失

波从波疏介质射向波密介质界面时，反射波位移反向，波相位突变 $\pi$（等价于损失半个波长），称为半波损失。

• 半波损失的原因是为了保证固定端位移为0，即A\cos(\omega t-kx+\varphi_{0})$$+A\cos(\omega t+k(x-2x_{0})+\varphi_{0}+\Delta\varphi)\equiv0|_{x=x_{0}}，则要求 $\Delta \phi =-\pi$

半波损失的反射波的波函数：

$$u_{反射}=A\cos (\omega t+k(x-2x_0)+{\phi }_0-\pi )$$

反射总结

情形	反射波	透射波
固定端反射	反相（半波损失 $\pi$）	—
自由端反射	同相（无半波损失）	—
波疏→波密	有半波损失（相位突变 $\pi$）	无半波损失
波密→波疏	无半波损失（相位不变）	无半波损失