多普勒效应

波源和观察者之间存在相对运动时，观察者接收到的频率不同于波源发出频率的现象。

核心图像

对机械波，波源运动会改变前后方的波长；观察者运动不改变介质中的波长，却会改变单位时间内遇到波峰的数目。

机械波的多普勒效应

设介质中的波速为 $v$ ，波源频率为 $f_{0}$ ，观察者接收频率为 $f$ 。以下规定：波源向观察者运动时 $v_{s} > 0$ ，观察者向波源运动时 $v_{o} > 0$ 。

波源以 $v_{s}$ 向观察者运动时，前方波长缩短：

$λ^{'} = λ - v_{s} T_{0} = \frac{v - v _{s}}{f _{0}} .$

因此

$f = \frac{v}{v - v _{s}} f_{0} .$

波源远离观察者时取 $v_{s} < 0$ ，波长增大，频率降低。

观察者以 $v_{o}$ 向波源运动时，单位时间内迎接更多波峰：

$f = \frac{v + v _{o}}{v} f_{0} .$

机械波多普勒公式

$f = \frac{v + v _{o}}{v - v _{s}} f_{0} .$

$v_{s}, v_{o}$ 必须相对于介质测量，并按上述靠近为正的约定取有符号值。对通常的声源，应有 $∣ v_{s} ∣ < v$ ；超过声速时需改用冲击波的图像。

光不依赖介质传播，必须使用狭义相对论。设波源与观察者在连线方向上趋近的相对速度为 $V$ ，令 $β = V / c$ ，则

相对论性多普勒公式

$f = \frac{1 + β}{1 - β} f_{0} .$

当 $V ≪ c$ 时， $f \approx f_{0} (1 + \frac{V}{c})$ 。

与机械波不同，电磁波的频移只取决于波源与观察者的相对运动，无须区分谁相对介质运动。

当波源速度 $v_{s}$ 超过介质中的波速 $v$ 时，波源会超越自己先前发出的波前，各球面波前的包络形成冲击波。

马赫角

$sin α = \frac{v}{v _{s}} = \frac{1}{M}, M = \frac{v _{s}}{v} .$

冲击波前沿处压强、密度、温度等状态量会发生急剧变化；超音速飞机的冲击波传到地面时可形成音爆。