1.3-向量空间、线性映射与 Hilbert 空间

集合运算

• 和集 $Z=A+B$
• 差集 $X=A-B=A\setminus B$
• 笛卡尔积 $X\times Y=\{(x,y)\mid x\in X,y\in Y\}$ 所有有序对

向量空间

• 向量子空间判定：$W$ 是否为 $V$ 的子空间

  • 加法闭合：$x,y\in W⟹(x+y)\in W$
  • 标量乘法闭合：$x\in W,\alpha$ 为标量 $⟹\alpha x\in W$
  • $0\in W$

• 直和 (直接求和)

  • $A,B$ 为向量空间 $V$ 的子空间： $V=A\oplus B⟺V=A+B,A\cap B=\{0\}$

• $A,B$ 为 $V$ 的子空间 $⟹A+B,A\cap B$ 也是 $V$ 的子空间

映射与线性映射

映射 T

$T:V\to W$
$V,W$ 为向量空间。
$T(\mathbf{v})$ 是 $\mathbf{v}$ 的像；若 $T(\mathbf{v})=\mathbf{\omega }$，则 $\mathbf{v}$ 是一个原像。
值域 $\mathrm{Im}(T)=\{T(\mathbf{v})\mid \mathbf{v}\in V\}$

线性映射（线性变换）

$T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}),T(c\mathbf{v})=cT(\mathbf{v}).$

• 满射：$\mathrm{Im}(T)=W$
• 单射：一对一映射
• 双射：既是满射又是单射；只有双射才有逆映射 $T^{-1}:W\to V$。
• 同构：内积空间之间保持内积的双射线性映射。

内积空间、赋范空间与 Hilbert 空间

空间名称	核心定义与特征
向量空间	定义了向量加法与标量乘法的集合。
内积空间	定义了内积的向量空间，可由内积定义长度和夹角
赋范空间	定义了范数的向量空间，可度量长度和距离
Euclidean 空间	通常指有限维实内积空间，范数由 Euclidean 内积定义
Banach 空间	完备的赋范空间：每个柯西序列都收敛到空间中的元素
Hilbert 空间	同时满足范数的收敛，且范数由内积定义$\Vert \mathbf{x}\Vert =\sqrt{⟨\mathbf{x},\mathbf{x}⟩}$

伴随算子

在 Hilbert 空间中，有界线性算子(矩阵) $T$ 的伴随算子 $T^{\ast }$ (复共轭转置运算)满足：
$⟨T\mathbf{x},\mathbf{y}⟩=⟨\mathbf{x},T^{\ast }\mathbf{y}⟩.$
若 $T=T^{\ast }$，则称 $T$ 为自伴随算子（Hermitian 矩阵）

伴随算子的意义