满行列秩矩阵的秩

背景

矩阵 $\mathbf{A}\in {\mathbb{F}}^{m\times n}$ 作为线性变换 $\mathbf{A}:{\mathbb{F}}^n\to {\mathbb{F}}^m$ 的秩性质，决定了对其他矩阵进行乘法时是否会改变秩。

A 满行秩

$$\boxed{\mathrm{rank}(\mathbf{BA})=\mathrm{rank}(\mathbf{B})}.$$

映射性质

此时 $\mathbf{A}$ 是满射，即 $\mathcal{R}(\mathbf{A})={\mathbb{F}}^m$。
映射链为${\mathbb{F}}^n\stackrel{\mathbf{A}}{\to }{\mathbb{F}}^m\stackrel{\mathbf{B}}{\to }{\mathbb{F}}^p$，由于 $\mathbf{A}$ 是满射，其像空间覆盖整个 ${\mathbb{F}}^m$，因此 $\mathbf{B}$ 的原始定义域全部保留，值域维数不变。即右乘满行秩矩阵不改变原矩阵的秩。

右逆证明

满行秩保证存在右逆 ${\mathbf{A}}_R$ 满足$\mathbf{A}{\mathbf{A}}_R={\mathbf{I}}_m$，由秩不等式$\mathrm{rank}(\mathbf{BA})\le \mathrm{rank}(\mathbf{B})$，又因为$\mathbf{B}=\mathbf{BA}{\mathbf{A}}_R$ ，所以 $\mathrm{rank}(\mathbf{B})\le \mathrm{rank}(\mathbf{BA})$。
两边结合即得等式。

A 满列秩

$$\boxed{\mathrm{rank}(\mathbf{AB})=\mathrm{rank}(\mathbf{B})}.$$

映射性质

此时 $\mathbf{A}$ 是单射，即 $\mathcal{N}(\mathbf{A})=\{0\}$。
映射链为 ${\mathbb{F}}^p\stackrel{\mathbf{B}}{\to }{\mathbb{F}}^n\stackrel{\mathbf{A}}{\to }{\mathbb{F}}^m$， 由于 $\mathbf{A}$ 是单射，它不会将非零向量映射为零，也不会压缩像空间的维数。因此 $\mathbf{B}$ 的值域经过 $\mathbf{A}$ 后维数保持不变。即左乘满列秩矩阵不改变原矩阵的秩。

左逆证明

满列秩保证存在左逆 ${\mathbf{A}}_L$ 满足${\mathbf{A}}_L\mathbf{A}={\mathbf{I}}_n$，由秩不等式$\mathrm{rank}(\mathbf{AB})\le \mathrm{rank}(\mathbf{B})$，又因为 $\mathbf{B}={\mathbf{A}}_L\mathbf{AB}={\mathbf{A}}_L(\mathbf{AB}),$所以 $\mathrm{rank}(\mathbf{B})\le \mathrm{rank}(\mathbf{AB})$。
两边结合即得等式。