3-全纯函数

卡片 1：C-R 方程从哪里来？

问题：复可导函数的局部线性部分为什么必须是“乘以一个复数”？比较两个矩阵后得到哪两条 C-R 方程？

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若 $f=u+iv$ 在 $z_0$ 复可导，局部线性部分既是
$\left[\begin{array}{cc}{u}_x& u_y\\ v_x& v_y\end{array}\right]$
又必须等于复乘矩阵
$\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}A& -\mathrm{Im}A\\ \mathrm{Im}A& \mathrm{Re}A\end{array}\right].$
逐项比较：$u_x=v_y$，$v_x=-u_y$。C-R 表达了局部变化只能是同一次旋转与缩放。

关联笔记：C-R 方程：推导

卡片 2：怎样用偏导计算复导数？

问题：在 C-R 条件下，$f^{\prime }(z)$ 可以怎样由 $u,v$ 的偏导表示？两种表示为何一致？

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$$f^{\prime }(z)=u_x+i{v}_x=v_y-i{u}_y.$$

C-R 给出 $u_x=v_y$、$v_x=-u_y$，所以实部和虚部分别相同。它也说明沿实轴或虚轴计算差商会得到同一复导数。

关联笔记：导数

卡片 3：C-R 方程何时足以判定全纯？

问题：C-R 方程对复可导是必要条件还是充分条件？若要用它判定全纯，还必须检查什么正则性？

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• C-R 对复可导是必要条件。
• 若在区域内 $u,v$ 的一阶偏导连续（特别地，函数实可微），C-R 才是全纯的充要条件。

易错点：不能只验两条形式等式；还必须检查正则性与区域条件。

关联笔记：C-R 方程

卡片 4：为什么把 $z,\bar{z}$ 当作两套坐标？

问题：如何由 $x,y$ 写出 Wirtinger 算子 ${\partial }_z,{\partial }_{\bar{z}}$？系数 $1/2$ 反映了什么坐标变换？

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由链式法则，

$$\frac{\partial }{\partial z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial }{\partial x}-i\frac{\partial }{\partial y}\right),\frac{\partial }{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial }{\partial y}\right).$$

系数来自 $x,y$ 对 $z,\bar{z}$ 的线性坐标变换；它保证 $\partial z/\partial z=1$、$\partial \bar{z}/\partial z=0$。

关联笔记：Wirtinger 导数：定义

卡片 5：为什么 ${\partial }_{\bar{z}}f=0$ 是 C-R 的紧凑写法？

问题：令 $f=u+iv$，如何展开 ${\partial }_{\bar{z}}f$？它为零时为何恰好得到 C-R 方程？

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$$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}[(u_x-v_y)+i(v_x+u_y)].$$

它为零当且仅当 $u_x=v_y$、$v_x=-u_y$。在一阶偏导连续的区域内，这便等价于 $f$ 全纯。

关联笔记：C-R 等价条件

卡片 6：一般复函数的微分怎样区分全纯部分？

问题：Wirtinger 微分公式是什么？其中哪一项刻画了函数对 $\bar{z}$ 的依赖和非全纯性？

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$$\mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial z}\mathrm{d}z+\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\mathrm{d}\bar{z}.$$

${\partial }_{z}f$ 是解析方向的变化；${\partial }_{\bar{z}}f$ 刻画对共轭变量的依赖。后一项为零时，局部变化只依赖 $\mathrm{d}z$，即满足全纯条件。

关联笔记：Wirtinger 导数：意义

卡片 7： $|z{|}^2$ 为什么是非全纯的典型例子？

问题：对 $f(z)=z\bar{z}$，两个 Wirtinger 导数分别是什么？为什么只在 $z=0$ 处满足条件仍不能说明它在区域内全纯？

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形式上把 $z,\bar{z}$ 视作独立变量：
${\partial }_{z}f=\bar{z},{\partial }_{\bar{z}}f=z.$
${\partial }_{\bar{z}}f=z$ 只在 $z=0$ 为零；任何区域都含有 $z\ne 0$ 的点，故 $|z{|}^2$ 不在任何区域内全纯。

两个 Wirtinger 偏导存在，并不等于函数全纯。

关联笔记：Wirtinger 导数：例

卡片 8：全纯函数何时保角？

问题：为什么 $f^{\prime }(z_0)\ne 0$ 能保证局部保角？当 $f^{\prime }(z_0)=0$ 时，一阶近似为何失去判断夹角的能力？

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• $f^{\prime }(z_0)\ne 0$：所有微小切向量都乘同一个非零复数，经历相同旋转与正比例缩放，故夹角保持。
• $f^{\prime }(z_0)=0$：一阶线性部分退化为零，不能据它比较曲线切向方向。

关联笔记：保角映射

卡片 9：为什么有向夹角要用“相除”来表示？

问题：两条非零微小向量的有向夹角如何写成一个商的辐角？相除后为什么长度信息会消失？

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$$\arg \frac{\mathrm{d}{z}_2}{\mathrm{d}{z}_1}=\arg \left(\frac{r_2}{r_1}{e}^{i({\phi }_2-{\phi }_1)}\right)={\phi }_2-{\phi }_1(\mathrm{mod}2\pi ).$$

相除抵消了长度，只留下方向差；这正适合比较映射前后的夹角。

关联笔记：有向夹角

卡片 10：解析函数的等值线为何正交？

问题：C-R 方程如何推出 $\nabla u\cdot \nabla v=0$？为什么在 $f^{\prime }(z_0)\ne 0$ 处才能断言两条等值线正交？

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C-R 给出
$\nabla v=(v_x,v_y)=(-u_y,u_x),$
所以 $\nabla u\cdot \nabla v=u_x(-u_y)+u_y{u}_x=0$。又
$|\nabla u{|}^2=u_x^2+v_x^2=|f^{\prime }(z_0){|}^2>0,$
两梯度均是各自等值线的非零法向量，故两等值线正交。

关联笔记：等值线正交性