2-复变函数

卡片 1：复变函数实际上描述什么映射？

问题：把 $f(z)$ 写成 $u(x,y)+iv(x,y)$ 后，$z$ 与 $f(z)$ 各代表什么几何对象？为什么这仍是二维到二维的映射？

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$f(z)=u(x,y)+iv(x,y).$
$u,v$ 都依赖两个实变量 $(x,y)$。复变函数是平面到平面的映射；“一个复变量”仍含两个实自由度。

关联笔记：复变函数

卡片 2：什么集合才是复平面中的区域？

问题：区域的定义是什么？开性和连通性在复分析中分别保证什么？

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区域是连通开集：

• 开：对每个 $z_0\in G$，存在 $r>0$ 使 $U(z_0,r)\subset G$；每点周围有局部分析空间。
• 连通：任意两点可由完全在 $G$ 内的曲线连接；讨论发生在同一片区域，而非两块孤立集合。

关联笔记：区域

卡片 3：单连通的核心判据是什么？

问题：为什么 $\mathbb{C}\setminus \{0\}$ 不是单连通区域？用“闭曲线能否缩成一点”说明理由。

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绕原点一周的闭曲线不能在 $\mathbb{C}\setminus \{0\}$ 内连续缩成一点：缩小时必越过被删去的原点。

关键不是“少一个点”，而是存在不能在区域内缩成一点的闭曲线。 这才是“有洞”、即多连通的本质。

关联笔记：单连通与多连通区域

卡片 4：为什么多值对象必须选分支？

问题：复对数、根式为什么不是通常意义的单值函数？选定分支后究竟固定了什么？

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多值对象对同一 $z$ 有多个可能值，不满足函数的唯一对应。选分支是在适当区域上固定一种连续取值，使每个 $z$ 只取一个值；此后才能作为单值函数讨论连续、可导等性质。

关联笔记：单值函数与多值函数

卡片 5：映射如何作用于平面几何对象？

问题：怎样统一描述点、曲线和区域在 $f$ 下的像？集合像 $f(G)$ 的定义是什么？

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$G^{\ast }=f(G)=\{f(z):z\in G\}.$
点：$z_0\mapsto f(z_0)$；曲线：$z=z(t)\mapsto f(z(t))$；区域：$G\mapsto f(G)$。它们都是同一“平面到平面”规则作用于不同几何对象。

关联笔记：几何-映射关系

卡片 6：为什么平方映射不能在全平面求逆？

问题：$f(z)=z^2$ 为什么不是一一映射？要把平方根看成单值反函数，应怎样限制定义域？

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对任意 $z\ne 0$，$f(-z)=(-z{)}^2=z^2=f(z)$，而 $-z\ne z$；所以它不一一。

• 全复平面上不能有单值反函数。
• 要得到反函数：先限制定义域，再选定一支平方根。

关联笔记：几何-映射关系