复变函数

复变函数

在复平面的区域 $G$ 上，按某一法则 $f$ ，每个 $z$ 对应唯一一个复数 $w$ ：
$w = f (z), z \in G .$

令 $z = x + i y$ ， $w = u + i v$ ，则

w = f (z) = u (x, y) + i v (x, y) .

$u (x, y)$ ： $w$ 的实部； $v (x, y)$ ： $w$ 的虚部。
复变函数可看作两个二元实函数 $u (x, y)$ 、 $v (x, y)$ 的组合。

区域

邻域： $U (z_{0}, r) = {z : ∣ z - z_{0} ∣ < r}$ ，即以 $z_{0}$ 为中心、半径为 $r$ 的圆盘。
内点：若存在 $r > 0$ ，使 $U (z_{0}, r) \subset G$ ，则 $z_{0}$ 是 $G$ 的内点。
开集：集合中每一点都是内点。
连通：任意两点可由一条完全落在集合内的曲线连接。
区域：复平面内的一个连通开集。也就是说，集合中每一点都是内点，且任意两点能由一条完全落在集合内的曲线连接。

单连通与多连通区域

单连通：区域内任一闭曲线都能在区域内连续缩成一点，即区域没有洞
多连通：区域内存在不能缩成一点的闭曲线，即区域有洞

例：去掉原点后的 $C ∖ {0}$ 是多连通区域：绕原点一圈的闭曲线若缩成一点，过程会经过原点；但原点不在区域内。

单值函数与多值函数

类型	对每个 $z \in G$	例子
单值函数	恰对应一个 $w$	$w = z^{2}$
多值函数	可以对应多个 $w$	复对数、复根式

多值函数只有在适当区域上固定一种连续取值（选定一个分支）后，才能按单值函数讨论。

几何-映射关系

复变函数的核心是平面到平面的映射：

f : G ⟶ G^{*}, G^{*} = f (G) = {f (z) : z \in G} .

像点： $z_{0} \mapsto w_{0} = f (z_{0})$ 。
像曲线： $z = z (t) \mapsto w = f (z (t))$ 。
像区域： $G \mapsto G^{*} = f (G)$ 。

函数可使图形伸缩、旋转、弯曲；不同的点或曲线也可能有相同的像。比如 $f (z) = z^{2}$ 中， $z$ 与 $- z$ 映到同一点。