欧拉公式

Euler's Formula

$e^{i y} = cos y + i sin y$

由幂级数展开可得。欧拉公式把指数函数与三角函数联系在一起

指数函数

e^{z} = e^{x + i y} = e^{x} (cos y + i sin y)

对 $z \neq = 0$ ，对数函数是 $e^{w} = z$ 的反函数：

Ln z = ln ∣ z ∣ + i Arg z = ln ∣ z ∣ + i (ar g z + 2 k π), k \in Z

取 $Arg z$ 的主值得到 $ln z = ln ∣ z ∣ + i ar g z$ （对数函数的一条分支）

性质
- $L n (z_{1} z_{2}) = L n z_{1} + L n z_{2}, L n (\frac{z _{1}}{z _{2}}) = L n z_{1} - L n z_{2}$
在去掉原点和负实轴的区域内， $ln z$ 的所有分支处处连续、解析，且
$(ln z)^{'} = \frac{1}{z}$
注：负实轴处( $lim_{y \to 0^{+}} a r g (x + i y) = π$ , $lim_{y \to 0^{-}} a r g (x + i y) = - π$ )

对 $a \neq = 0$ ，复幂通过复对数定义：

a^{b} = e^{b Ln a}

多值性来自 $Ln a$

选定一个对数分支后， $z^{b}$ 是单值解析函数，且

(z^{b})^{'} = b z^{b - 1}

cos z = \frac{e ^{i z} + e ^{- i z}}{2}, sin z = \frac{e ^{i z} - e ^{- i z}}{2 i}

$sin z, cos z$ 都以 $2 π$ 为周期； $cos z$ 为偶函数， $sin z$ 为奇函数
$(sin z)^{'} = cos z, (cos z)^{'} = - sin z$
一些三角恒等式仍然成立
- $sin (z_{1} + z_{2}) = sin z_{1} cos z_{2} + cos z_{1} sin z_{2}$
- $cos (z_{1} + z_{2}) = cos z_{1} cos z_{2} - sin z_{1} sin z_{2}$
- $sin^{2} z + cos^{2} z = 1$

当 $∣ y ∣ \to \infty$ 时， $∣ sin (x + i y) ∣, ∣ cos (x + i y) ∣ \to \infty$ 。因此 $sin z, cos z$ 在复平面内无界。

tan z = \frac{sin z}{cos z} = \frac{1}{i} \frac{e ^{i z} - e ^{- i z}}{e ^{i z} + e ^{- i z}}

实轴两侧复正切函数有界， $lim_{y \to + \infty} tan z = i$ , $lim_{y \to - \infty} tan z = - i$

cosh z = \frac{e ^{z} + e ^{- z}}{2}, sinh z = \frac{e ^{z} - e ^{- z}}{2}, tanh z = \frac{sinh z}{cosh z}

反函数会继承三角函数的周期性、偶性以及根式的多值性，因此都是多值函数：

Arccos z Arcsin z Arctan z = - i Ln (z + z^{2} - 1) = - i Ln (i z + 1 - z^{2}) = - \frac{i}{2} Ln (\frac{1 + i z}{1 - i z})

对应的反双曲函数为:

Arsinh z Arcosh z Artanh z = Ln (z + z^{2} + 1) = Ln (z + z^{2} - 1) = \frac{1}{2} Ln (\frac{1 + z}{1 - z})

推导：
$ω = arccos z$ ，则 $cos ω = \frac{e ^{iω} + e ^{- iω}}{2} = z$ ，则 $(e^{iω})^{2} - 2 z e^{iω} + 1 = 0$