1-振动

卡片 1：简谐振动的条件与运动学关系

问题：什么力学条件使质点做简谐振动？写出它的角频率、位移、速度和加速度关系。

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简谐振动要求回复力与位移成正比、方向相反：

$$F=-kx$$ $$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}},x=A\cos (\omega t+{\phi }_0)$$ $$v=-A\omega \sin (\omega t+{\phi }_0),a=-{\omega }^{2}x$$

关联笔记：简谐振动：运动方程

卡片 2：初始条件与简谐振动参数

问题：已知初始位移 $x_0$、初始速度 $v_0$ 和角频率 $\omega$，如何确定振幅和初相？总机械能与振幅有什么关系？

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$$A=\sqrt{x_0^2+{\left(\frac{v_0}{\omega }\right)}^2}$$ $${\phi }_0=atan2\left(-\frac{v_0}{\omega },x_0\right)$$

$atan2(y,x)$ 能判断初相所在象限。总机械能为：

$$E=\frac{1}{2}k{A}^2$$

关联笔记：简谐振动：初始条件

卡片 3：复数法表示简谐振动

问题：复数法如何表示简谐振动？实际位移、速度、加速度和振幅分别如何从复振动中得到？

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$$\tilde{x}=A{e}^{i(\omega t+\phi )}$$

实际位移取实部：$x=\mathrm{Re}(\tilde{x})$。微分相当于乘以 $i\omega$：

$$\tilde{v}=i\omega \tilde{x},\tilde{a}=-{\omega }^2\tilde{x}$$

振幅可由共轭复数得到：

$$A=\sqrt{\tilde{x}{\tilde{x}}^{\ast }}$$

关联笔记：复数法表示振动

卡片 4：同频同向振动的合成

问题：两个同频、同向简谐振动合成后的振幅如何计算？相位差取何值时相长或相消？

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旋转矢量法 $$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos ({\phi }_2-{\phi }_1)}$$

• $\Delta \phi =2k\pi$：相长，$A=A_1+A_2$；
• $\Delta \phi =(2k+1)\pi$：相消，$A=|A_1-A_2|$。

关联笔记：振动的合成：同频同向

卡片 5：拍频

问题：两个振幅和初相相同、频率不同的同向振动合成后，振幅和拍频分别是什么？

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$$x=2A\cos \left(\frac{{\omega }_1-{\omega }_2}{2}t\right)\cos \left(\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2}t+\phi \right)$$

• 快速振动的角频率为 $\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2}$；
• 包络振幅为 $2A\cos \left(\frac{{\omega }_1-{\omega }_2}{2}t\right)$；
• 拍频为 $\nu =|{\nu }_1-{\nu }_2|$。

关联笔记：振动的合成：拍频

卡片 6：垂直振动的合成

问题：同频垂直振动合成后轨迹通常是什么？何时退化为直线？不同频率时李萨如图形何时闭合？

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同频垂直合成一般得到椭圆。若相位差 $\Delta \phi =k\pi$，轨迹退化为直线。

不同频率时，图形闭合当且仅当：

$${\omega }_x:{\omega }_y=p:q$$

其中 $p,q$ 互素；一个闭合周期内，$x$、$y$ 分别完成 $p$、$q$ 次振动。

关联笔记：振动的合成：垂直合成、振动的合成：李萨如图形

卡片 7：三种阻尼情形

问题：阻尼振动的运动方程是什么？欠阻尼、过阻尼、临界阻尼的条件和运动特征分别是什么？

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$$\ddot{x}+2\delta \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$$

情形	条件	特征
欠阻尼	$\delta <{\omega }_0$	仍振荡，振幅按 $e^{-\delta t}$ 衰减
过阻尼	$\delta >{\omega }_0$	不振荡，缓慢回到平衡位置
临界阻尼	$\delta ={\omega }_0$	不振荡，回到平衡位置最快

关联笔记：阻尼振动：三种情形

卡片 8：受迫振动的稳态响应

问题：受迫阻尼振动的稳态振幅和位移相对策动力的相位差分别由什么公式确定？

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$$\ddot{x}+2\delta \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=f_0\cos \omega t$$ $$A=\frac{f_0}{\sqrt{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+4{\delta }^2{\omega }^2}}$$ $$\tan \phi =-\frac{2\delta \omega }{{\omega }_0^2-{\omega }^2}$$

关联笔记：受迫振动：运动方程

卡片 9：位移共振与速度共振

问题：位移共振与速度共振分别使什么量最大？各自的共振角频率是什么？

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共振类型	最大量	共振角频率
位移共振	振幅 $A$	${\omega }_r=\sqrt{{\omega }_0^2-2{\delta }^2}$
速度共振	速度 $v$	${\omega }_r={\omega }_0$

位移共振需要 ${\omega }_0^2>2{\delta }^2$；弱阻尼时位移共振频率满足 ${\omega }_r\approx {\omega }_0$。

关联笔记：受迫振动：共振

卡片 10：耦合振子的简正模式

问题：完全对称的两个耦合振子有哪些简正模式和简正频率？简正坐标怎样将耦合方程解耦？

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模式	振幅关系	简正频率
低频同相	$x_1=x_2$	${\omega }_1=\sqrt{k_1/m}$
高频反相	$x_1=-x_2$	${\omega }_2=\sqrt{(k_1+2k_2)/m}$

定义：

$$Q_1=x_1+x_2,Q_2=x_1-x_2$$

可将原本耦合的方程化为 $Q_1,Q_2$ 各自独立的简谐振动方程。

关联笔记：耦合振子：简正模式、耦合振子：简正坐标