1-振动

卡片 1：简谐振动

问题：简谐振动的条件是什么？方程是什么？常用的求解方法有哪些？

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条件：以稳定平衡位置为原点，合力为线性恢复力，且无阻尼、无外加驱动力：

$$F=-kx,k>0$$

$m$ 为质量，$k$ 为劲度系数。由牛顿第二定律：

$$\ddot{x}+{\omega }^{2}x=0,\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$$ $$x=A\cos (\omega t+{\phi }_0),v=-A\omega \sin (\omega t+{\phi }_0),a=-{\omega }^{2}x$$

$A$、${\phi }_0$ 分别为振幅、初相，由初始条件确定。

常用方法：

• 动力学法：列运动方程；必要时先作小量近似，化为简谐振动方程。
• 能量法：写出 $E=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+\frac{1}{2}k{x}^2=\text{常量}$，对时间求导，得到运动方程。
• 旋转矢量法：将简谐振动看作匀速旋转矢量的投影，处理相位、时间和合成问题。

关联笔记：简谐振动

卡片 2：复数表示

问题：简谐振动如何用复数表示？如何提取实际物理量？

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复数表示：

$$\tilde{x}=A{e}^{i(\omega t+\phi )}$$

$i^2=-1$，波浪号表示辅助计算的复数量。取实部得到实际位移：

$$x=\mathrm{Re}\tilde{x}=A\cos (\omega t+\phi )$$

微分变乘法：

$$\tilde{v}=i\omega \tilde{x},\tilde{a}=-{\omega }^2\tilde{x}$$

实际速度、加速度分别为 $v=\mathrm{Re}\tilde{v}$、$a=\mathrm{Re}\tilde{a}$。

振幅取复数的模，不是取实部：

$$A=|\tilde{x}|=\sqrt{\tilde{x}{\tilde{x}}^{\ast }}$$

星号表示复共轭。简谐振动中 $A$ 为常量，$x$ 为随时间变化的瞬时位移。

关联笔记：复数法表示振动

卡片 3：同频率、同方向的合成

问题：同频率、同方向的简谐振动如何合成？（答案中强调旋转矢量法）

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设 $x_j=A_j\cos (\omega t+{\phi }_j)$，$j=1,2$。
旋转矢量法：两振幅矢量以相同角速度旋转，相对夹角不变；矢量和也以同一角速度旋转，所以合振动仍为同频简谐振动。

$$\vec{A}={\vec{A}}_1+{\vec{A}}_2,A{e}^{i\phi }=A_1{e}^{i{\phi }_1}+A_2{e}^{i{\phi }_2}$$ $$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos ({\phi }_2-{\phi }_1)}$$ $$A\cos \phi =A_1\cos {\phi }_1+A_2\cos {\phi }_2,A\sin \phi =A_1\sin {\phi }_1+A_2\sin {\phi }_2$$

由后两式共同确定初相所在象限，不能只凭 $\tan \phi$ 判断。

• 相长：${\phi }_2-{\phi }_1=2n\pi$，$A=A_1+A_2$。
• 相消：${\phi }_2-{\phi }_1=(2n+1)\pi$，$A=|A_1-A_2|$。

$n\in \mathbb{Z}$；完全相消时 $A=0$，合振动初相无定义。

关联笔记：同频率、同方向的合成

卡片 4：相互垂直的合成

问题：相互垂直的简谐运动合成后是什么样的？

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同频率：设 $x=A_1\cos (\omega t+{\phi }_1)$、$y=A_2\cos (\omega t+{\phi }_2)$，$A_1,A_2>0$。记 $\Delta \phi ={\phi }_1-{\phi }_2$，消去 $t$：

$$\frac{x^2}{A_1^2}+\frac{y^2}{A_2^2}-\frac{2xy}{A_1{A}_2}\cos \Delta \phi ={\sin }^2\Delta \phi$$

• 一般为椭圆。
• $\Delta \phi =n\pi$：退化为直线 $y=(-1{)}^n(A_2/A_1)x$。
• $\Delta \phi =\pi /2+n\pi$：椭圆的主轴沿坐标轴；再有 $A_1=A_2$，则为圆。

不同频率：合成轨迹为李萨如图形。两方向振幅均非零、角频率均为正时，运动周期性闭合的条件为频率比是有理数：

$${\omega }_x:{\omega }_y=p:q$$

$p,q$ 为互素正整数。一个最小共同周期内，$x$、$y$ 分别完成 $p$、$q$ 次振动。

关联笔记：同频率、相互垂直的合成；不同频率、相互垂直

卡片 5：阻尼振动

问题：阻尼振动的动力学方程是什么？如何求解？欠阻尼、过阻尼、临界阻尼的条件与特征分别是什么？（提示：参数 ${\omega }_0,2\delta$；复数法）

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阻尼力 $f=-\gamma \dot{x}$，$\gamma >0$。$m$ 为质量，$k$ 为劲度系数：

$$m\ddot{x}+\gamma \dot{x}+kx=0,{\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}},2\delta =\frac{\gamma }{m}$$ $$\ddot{x}+2\delta \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$$

复数法：设指数解 $\tilde{x}=e^{i\omega t}$，允许 $\omega$ 为复数：

$${\omega }^2-2i\delta \omega -{\omega }_0^2=0\Rightarrow {\omega }_{\pm }=i\delta \pm \sqrt{{\omega }_0^2-{\delta }^2}$$

两根不同时，对应两个独立指数解；重根时另取独立解。

情形	条件	实通解与特征
欠阻尼	$0<\delta <{\omega }_0$	$x=A{e}^{-\delta t}\cos ({\omega }^{\prime }t+{\Phi }_0)$，${\omega }^{\prime }=\sqrt{{\omega }_0^2-{\delta }^2}$；振荡，振幅指数衰减
过阻尼	$\delta >{\omega }_0$	$x=A_1{e}^{(-\delta +\lambda )t}+A_2{e}^{(-\delta -\lambda )t}$，$\lambda =\sqrt{{\delta }^2-{\omega }_0^2}$；不持续振荡，通常由慢衰减项主导
临界阻尼	$\delta ={\omega }_0$	$x=(A_1+A_{2}t)e^{-\delta t}$；重根，不持续振荡

各积分常数由初始条件确定。固定 $m,k$，一般初始条件下，临界阻尼在非振荡响应中渐近衰减最快；不代表任意初始条件下最先到达 $x=0$。

关联笔记：阻尼振动

卡片 6：受迫振动

问题：受迫振动的动力学方程是什么？如何求解？（提示：参数 ${\omega }_0,2\delta ,f_0$；复数法）

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外力为 $F=F_0\cos \omega t$，其中 $\omega$ 为驱动角频率：

$$m\ddot{x}+\gamma \dot{x}+kx=F_0\cos \omega t$$

记 ${\omega }_0=\sqrt{k/m}$、$2\delta =\gamma /m$、$f_0=F_0/m$，则

$$\ddot{x}+2\delta \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=f_0\cos \omega t$$

复数法：把右端写为 $f_0{e}^{i\omega t}$，设稳态特解 ${\tilde{x}}_s=B{e}^{i\omega t}$，$B$ 为复振幅。代入得到

$$({\omega }_0^2-{\omega }^2+i2\delta \omega )B=f_0$$ $${\tilde{x}}_s=\frac{f_0{e}^{i\omega t}}{{\omega }_0^2-{\omega }^2+i2\delta \omega },x_s=A\cos (\omega t+\phi )$$ $$A=\frac{f_0}{\sqrt{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+4{\delta }^2{\omega }^2}}$$ $$\phi =-\arg ({\omega }_0^2-{\omega }^2+i2\delta \omega ),\tan \phi =-\frac{2\delta \omega }{{\omega }_0^2-{\omega }^2}$$

取 $F_0>0$、$\delta >0$、$\omega >0$，则 $-\pi <\phi <0$；相位须结合象限确定，不能只取反正切主值。

总解 = 齐次通解 + 稳态特解。正阻尼下齐次部分随时间衰减，足够长时间后主要剩下稳态响应。

关联笔记：受迫振动的运动方程与求解

卡片 7：共振

问题：位移共振和速度共振的条件分别是什么？弱阻尼时有什么特殊情况？

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对稳态受迫振动，记 ${\omega }_0=\sqrt{k/m}$、$2\delta =\gamma /m$、$f_0=F_0/m$，取 $\delta >0$，且 $F_0$ 不随驱动频率 $\omega$ 变化：

$$A(\omega )=\frac{f_0}{\sqrt{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+4{\delta }^2{\omega }^2}}$$

位移共振：使分母平方对 $\omega$ 的导数为零：

$$\frac{d}{d\omega }\left[({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+4{\delta }^2{\omega }^2\right]=4\omega ({\omega }^2-{\omega }_0^2+2{\delta }^2)$$

因而只有 $0<\delta <{\omega }_0/\sqrt{2}$ 时，存在非零频率处的位移共振峰：

$${\omega }_r=\sqrt{{\omega }_0^2-2{\delta }^2},A_{\max }=\frac{f_0}{2\delta \sqrt{{\omega }_0^2-{\delta }^2}}$$

$\delta \ge {\omega }_0/\sqrt{2}$ 时，没有非零频率处的位移共振峰。

速度共振：比较的是速度振幅 $V=\omega A$，不是瞬时速度。改写为

$$V^2=\frac{f_0^2}{({\omega }_0^2/\omega -\omega {)}^2+4{\delta }^2}$$

分母在 $\omega ={\omega }_0$ 最小，因此

$${\omega }_{r,v}={\omega }_0,V_{\max }=\frac{f_0}{2\delta }$$

平均吸收功率等于稳态下的平均耗散功率：

$$\bar{P}=\gamma \overline{v^2}=\frac{1}{2}\gamma {\omega }^2{A}^2$$

它在速度共振时最大。弱阻尼 $\delta \ll {\omega }_0$ 时，${\omega }_r\approx {\omega }_0$，位移、速度及平均吸收功率的峰值近似出现在同一频率。

关联笔记：共振

卡片 8：简正模式与简正频率

问题：简正模式是什么？简正频率如何推导？

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简正模式：所有自由度以同一角频率振动，各分量的振幅比、相位差保持不变。

对笔记中的对称系统，两个质量均为 $m$，两侧弹簧劲度系数均为 $k_1$，中间耦合弹簧劲度系数为 $k_2$，取 $m,k_1,k_2>0$：

$$\{\begin{array}{l}m{\ddot{x}}_1+(k_1+k_2)x_1-k_2{x}_2=0\\ m{\ddot{x}}_2-k_2{x}_1+(k_1+k_2)x_2=0\end{array}$$

设 $x_1=A_1\cos \omega t$、$x_2=A_2\cos \omega t$，其中 $A_1,A_2$ 可带符号，代入得

$$\left[\begin{array}{cc}{k}_1+k_2-m{\omega }^2& -k_2\\ -k_2& k_1+k_2-m{\omega }^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\end{array}\right]=0$$

存在非零振幅向量，要求系数行列式为零：

$$(k_1+k_2-m{\omega }^2{)}^2-k_2^2=0$$

模式	振幅关系	简正角频率	物理图像
同相	$A_1=A_2$	${\omega }_1=\sqrt{k_1/m}$	中间弹簧不形变
反相	$A_1=-A_2$	${\omega }_2=\sqrt{(k_1+2k_2)/m}$	中间弹簧参与回复，频率更高

关联笔记：简正模式

卡片 9：简正坐标

问题：简正坐标是什么？如何求解耦合振子问题？

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简正坐标：将耦合运动方程化为独立模式方程的坐标。对笔记中的对称系统，取

$$Q_1=x_1+x_2,Q_2=x_1-x_2$$

$Q_1$ 描述同相模式成分，$Q_2$ 描述反相模式成分。把原方程相加、相减：

$$\{\begin{array}{l}{\ddot{Q}}_1+{\omega }_1^2{Q}_1=0\\ {\ddot{Q}}_2+{\omega }_2^2{Q}_2=0\end{array},{\omega }_1=\sqrt{\frac{k_1}{m}},{\omega }_2=\sqrt{\frac{k_1+2k_2}{m}}$$

分别求解，$j=1,2$：

$$Q_j=C_j\cos ({\omega }_{j}t)+D_j\sin ({\omega }_{j}t),C_j=Q_j(0),D_j=\frac{{\dot{Q}}_j(0)}{{\omega }_j}$$

初始条件由原坐标变换得到：

$$\begin{array}{rlrl}{Q}_1(0)& =x_1(0)+x_2(0),& {\dot{Q}}_1(0)& =v_1(0)+v_2(0),\\ Q_2(0)& =x_1(0)-x_2(0),& {\dot{Q}}_2(0)& =v_1(0)-v_2(0).\end{array}$$

还原原坐标：

$$x_1=\frac{Q_1+Q_2}{2},x_2=\frac{Q_1-Q_2}{2}$$

一般运动是两种简正模式的叠加；若只有一个模式的初始位移、初始速度不全为零，则为纯简正模式。

关联笔记：简正坐标

卡片 10：多自由度系统

问题：如何求解多自由度系统的简正频率和简正模式？

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对稳定平衡位置附近的线性、无阻尼、无外驱动系统：

$$\mathbf{M}\ddot{\mathbf{x}}+\mathbf{Kx}=0$$

$\mathbf{x}$ 为 $N$ 维位移向量，$\mathbf{M}$ 为质量矩阵，$\mathbf{K}$ 为刚度矩阵；这里取二者均为实对称正定矩阵。

先求频率：设 $\mathbf{x}=\mathbf{a}\cos (\omega t+\phi )$，代入得到

$$(\mathbf{K}-{\omega }^2\mathbf{M})\mathbf{a}=0$$

非零模式向量 $\mathbf{a}\ne 0$ 存在的条件为

$$\det (\mathbf{K}-{\omega }^2\mathbf{M})=0$$

解得 $N$ 个正的简正角频率 ${\omega }_j$，按重数计，数值不一定互不相同。

再求模式：把每个 ${\omega }_j$ 代回

$$(\mathbf{K}-{\omega }_j^2\mathbf{M}){\mathbf{a}}_j=0$$

求对应的非零模式向量 ${\mathbf{a}}_j$；各分量给出各自由度的相对振幅和同、反相关系。频率重复时，在对应解空间中选取独立模式。

叠加得到一般运动：选取 $N$ 个独立模式后，

$$\mathbf{x}(t)=\sum _{j=1}^N{\mathbf{a}}_j\left[C_j\cos ({\omega }_{j}t)+D_j\sin ({\omega }_{j}t)\right]$$

$C_j,D_j$ 由初始位移、初始速度确定。简正坐标就是上式中各模式对应的独立振动坐标。

关联笔记：多自由度系统的结论